趣题：2n位平衡01串平均有多少个平衡前缀？

    这次的趣题来源于 UyHiP 今年八月份的谜题：概率均等地随机选取一个恰好含有 n 个 0 和 n 个 1 的 2n 位 01 串，这个 01 串平均会有多少个 0 和 1 个数相等的前缀（包括空串和整个串本身）？

    为了叙述简便起见，下面我们把所含 0 和 1 个数恰好相等的 01 串叫做平衡的 01 串。例如， 010010110011 就是一个平衡 01 串，它有四个平衡前缀，空串、 01 、01001011 以及整个 01 串本身。我们需要求出的就是，任取一个长为 2n 的平衡 01 串，平衡前缀的个数的期望值是多少。

    注意到，在所有长为 2n 的 01 串中，平衡 01 串一共有 C(2n, n) 个。下面我们证明，所有这些串的所有平衡前缀一共有 4ⁿ 个，从而得出问题的答案，即 4ⁿ / C(2n, n) 。

    不妨把所有 2n 位平衡 01 串的所有平衡前缀的总数记作 F(n) ，容易得出：

    利用生成函数，我们可以瞬间证明，这个和等于 4ⁿ 。由 Taylor 展开可知， 数列 C(2n, n) 所对应的生成函数为：

    对上式平方，有：

    但

    因此 F(n) = 4ⁿ 。

 
 
    Joseph DeVincentis 和 Daniel Bitin 给出了一个初等的证明。令 S 为某个平衡 01 串，令 k 为 S 的某个平衡前缀的长度（ k 有可能取 0 或者 2n ）。我们下面建立一个从所有可能的 (S, k) 到所有长为 2n 的 01 串的一一对应的关系，从而说明所有平衡前缀一共有 4ⁿ 个。

    我们先给出把 (S, k) 变换为一个普通 01 串的方法。首先，取 S' = S 。接下来，找出 S' 中比 k 更长的平衡前缀中最短的那一个，把它的长度记作 l 。然后，对 S' 中从第 k + 2 位到第 l 位的数字全部取反。继续寻找新的 l 并执行相应的取反操作，直到 S' 中不再有比 k 更长的平衡前缀。

    下面我们来说明，这个过程不会无限继续下去，总会有终止的时候。不妨假设 S 的第 k + 1 位是一个 0 。由于取反操作不影响前面 k + 1 位数字，因此 S' 的前 k 位始终平衡，第 k + 1 位也始终是 0 。容易看出，每次取反前，第 k + 2 位到第 l 位中 1 的个数比 0 的个数多一个，因此对这一段数字取反将会让整个串少一个 1 多一个 0，从而让整个串的后半部分越来越不平衡。因此，总有一个时候，第 k 位以后将会不再有别的平衡点产生。如果 S 的第 k + 1 位是 1 ，类似的推理同样成立。

    然后，我们需要说明，这个对应关系确实是一一对应的。为此，我们需要给出把 S' 变回 (S, k) 的方法。首先，我们可以很快还原出 k 的值来：找出 S' 中最长的平衡前缀，它的长度就是 k 。注意， k 一定是偶数，并且有可能是 0 或者 2n 。如果 k 是 2n ，即 S' 本身就是一个平衡串，那么我们可以直接还原出 S = S' 。下面只考虑 k < 2n 的情况。

    不妨假设 S' 的第 k + 1 位是 0 ，由于在此之后 S' 没有其他平衡点了，因此从第 k + 2 位开始数下去， 0 的个数必须始终大于等于 1 的个数。由于从第 k + 2 位一直数到最后一位一共有奇数个数字，因此其中 0 的总个数也就一定严格大于 1 的总个数。找出从第 k + 2 位起， 0 的个数首次超过 1 的个数的地方，比如说第 l 位。对第 k + 2 位到第 l 位的数取反（此时 S' 的前 l 位将变成一个平衡前缀）。这样一来，整个串的后面部分将会少一个 0 多一个 1 ，但 0 的个数有可能仍然比 1 多。继续找出从第 k + 2 位起首次 0 的个数刚好比 1 多一个的地方，像刚才那样继续取反，让 0 越来越少， 1 越来越多，直到整个串变为平衡串为止。整个过程显然是从 (S, k) 变换到 S' 的逆操作，因而最后得到的串正是 S 。当然，如果 S' 的第 k + 1 位是 1 ，上面的推理同样成立。至此，我们便完成了全部证明。