用JavaScript玩转游戏物理(一)运动学模拟与粒子系统

系列简介

也许，三百年前的艾萨克·牛顿爵士(Sir Issac Newton, 1643-1727)并没幻想过，物理学广泛地应用在今天许多游戏、动画中。为什么在这些应用中要使用物理学？笔者认为，自我们出生以来，一直感受着物理世界的规律，意识到物体在这世界是如何"正常移动"，例如射球时球为抛物线(自旋的球可能会做成弧线球) 、石子系在一根线的末端会以固定频率摆动等等。要让游戏或动画中的物体有真实感，其移动方式就要符合我们对"正常移动"的预期。

今天的游戏动画应用了多种物理模拟技术，例如运动学模拟(kinematics simulation)、刚体动力学模拟(rigid body dynamics simulation)、绳子/布料模拟(string/cloth simulation)、柔体动力学模拟(soft body dynamics simulation)、流体动力学模拟(fluid dynamics simulation)等等。另外碰撞侦测(collision detection)是许多模拟系统里所需的。

本系列希望能介绍一些这方面最基础的知识，继续使用JavaScript做例子，以即时互动方式体验。

本文简介

作为系列第一篇，本文介绍最简单的运动学模拟，只有两条非常简单的公式。运动学模拟可以用来模拟很多物体运动(例如马里奥的跳跃、炮弹等)，本文将会配合粒子系统做出一些视觉特效(粒子系统其实也可以用来做游戏的玩法，而不单是视觉特效)。

运动学模拟

运动学(kinematics)研究物体的移动，和动力学(dynamics)不同之处，在于运动学不考虑物体的质量(mass)/转动惯量(moment of inertia)，以及不考虑加之于物体的力(force )和力矩(torque)。

我们先回忆牛顿第一运动定律:

当物体不受外力作用，或所受合力为零时，原先静止者恒静止，原先运动者恒沿着直线作等速度运动。该定律又称为「惯性定律」。

此定律指出，每个物体除了其位置(position)外，还有一个线性速度(linear velocity)的状态。然而，只模拟不受力影响的物体并不有趣。撇开力的概念，我们可以用线性加速度(linear acceleration)去影响物体的运动。例如，要计算一个自由落体在任意时间t的y轴座标，可以使用以下的分析解(analytical solution):

当中，y_0和v_0分别是t=0时的y轴起始座标和速度，而g则是重力加速度(gravitational acceleration)。

这分析解虽然简单，但是有一些缺点，例如g是常数，在模拟过程中不能改变；另外，当物体遇到障碍物，产生碰撞时，这公式也很难处理这种不连续性(discontinuity) 。

在计算机模拟中，通常需要计算连续的物体状态。用游戏的用语，就是计算第一帧的状态、第二帧的状态等等。设物体在任意时间t的状态：位置矢量为\mathbf{r}(t)、速度矢量为\mathbf{v}(t)、加速度矢量为\mathbf{a}(t)。我们希望从时间t的状态，计算下一个模拟时间t+\Delta t的状态。最简单的方法，是采用欧拉方法(Euler method)作数值积分(numerical integration):

欧拉方法非常简单，但有准确度和稳定性问题，本文会先忽略这些问题。本文的例子采用二维空间，我们先实现一个JavaScript二维矢量类:

// Vector2.js
Vector2 = function(x, y) { this.x = x; this.y = y; };

Vector2.prototype = {
    copy : function() { return new Vector2(this.x, this.y); },
    length : function() { return Math.sqrt(this.x * this.x + this.y * this.y); },
    sqrLength : function() { return this.x * this.x + this.y * this.y; },
    normalize : function() { var inv = 1/this.length(); return new Vector2(this.x * inv, this.y * inv); },
    negate : function() { return new Vector2(-this.x, -this.y); },
    add : function(v) { return new Vector2(this.x + v.x, this.y + v.y); },
    subtract : function(v) { return new Vector2(this.x - v.x, this.y - v.y); },
    multiply : function(f) { return new Vector2(this.x * f, this.y * f); },
    divide : function(f) { var invf = 1/f; return new Vector2(this.x * invf, this.y * invf); },
    dot : function(v) { return this.x * v.x + this.y * v.y; }
};

Vector2.zero = new Vector2(0, 0);

然后，就可以用HTML5 Canvas去描绘模拟的过程:

var position = new Vector2(10, 200); var velocity = new Vector2(50, -50); var acceleration = new Vector2(0, 10); var dt = 0.1; function step() { position = position.add(velocity.multiply(dt)); velocity = velocity.add(acceleration.multiply(dt)); ctx.strokeStyle = "#000000"; ctx.fillStyle = "#FFFFFF"; ctx.beginPath(); ctx.arc(position.x, position.y, 5, 0, Math.PI*2, true); ctx.closePath(); ctx.fill(); ctx.stroke(); } start("kinematicsCancas", step);
Run Stop Clear

修改代码试试看 改变起始位置 改变起始速度(包括方向) 改变加速度

这程序的核心就是step()函数头两行代码。很简单吧？

粒子系统

粒子系统(particle system)是图形里常用的特效。粒子系统可应用运动学模拟来做到很多不同的效果。粒子系统在游戏和动画中，常常会用来做雨点、火花、烟、爆炸等等不同的视觉效果。有时候，也会做出一些游戏性相关的功能，例如敌人被打败后会发出一些闪光，主角可以把它们吸收。

粒子的定义

粒子系统模拟大量的粒子，并通常用某些方法把粒子渲染。粒子通常有以下特性:

1. 粒子是独立的，粒子之间互不影响(不碰撞、没有力)
2. 粒子有生命周期，生命结束后会消失
3. 粒子可以理解为空间的一个点，有时候也可以设定半径作为球体和环境碰撞
4. 粒子带有运动状态，也有其他外观状态(例如颜色、影像等)
5. 粒子可以只有线性运动，而不考虑旋转运动(也有例外)

以下是本文例子里实现的粒子类:

// Particle.js
Particle = function(position, velocity, life, color, size) {
    this.position = position;
    this.velocity = velocity;
    this.acceleration = Vector2.zero;
    this.age = 0;
    this.life = life;
    this.color = color;
    this.size = size;
};

游戏循环

粒子系统通常可分为三个周期:

1. 发射粒子
2. 模拟粒子(粒子老化、碰撞、运动学模拟等等)
3. 渲染粒子

在游戏循环(game loop)中，需要对每个粒子系统执行以上的三个步骤。

生与死

在本文的例子里，用一个JavaScript数组particles储存所有活的粒子。产生一个粒子只是把它加到数组末端。代码片段如下:

//ParticleSystem.js
function ParticleSystem() {
    // Private fields
    var that = this;
    var particles = new Array();

    // Public fields
    this.gravity = new Vector2(0, 100);
    this.effectors = new Array();

    // Public methods
        
    this.emit = function(particle) {
        particles.push(particle);
    };

    // ...
}

粒子在初始化时，年龄(age)设为零，生命(life)则是固定的。年龄和生命的单位都是秒。每个模拟步，都会把粒子老化，即是把年龄增加\Delta t，年龄超过生命，就会死亡。代码片段如下:

function ParticleSystem() {
    // ... 
    this.simulate = function(dt) {
        aging(dt);
        applyGravity();
        applyEffectors();
        kinematics(dt);
    };
    
    // ...

    // Private methods
    
    function aging(dt) {
        for (var i = 0; i < particles.length; ) {
            var p = particles[i];
            p.age += dt;
            if (p.age >= p.life)
                kill(i);
            else
                i++;
        }
    }

    function kill(index) {
        if (particles.length > 1)
            particles[index] = particles[particles.length - 1];
        particles.pop();
    }
    // ...
}

在函数kill()里，用了一个技巧。因为粒子在数组里的次序并不重要，要删除中间一个粒子，只需要复制最末的粒子到那个元素，并用pop()移除最末的粒子就可以。这通常比直接删除数组中间的元素快(在C++中使用数组或std::vector亦是)。

运动学模拟

把本文最重要的两句运动学模拟代码套用至所有粒子就可以。另外，每次模拟会先把引力加速度写入粒子的加速度。这样做是为了将来可以每次改变加速度(续篇会谈这方面)。

function ParticleSystem() {
    // ...
    function applyGravity() {
        for (var i in particles)
            particles[i].acceleration = that.gravity;
    }

    function kinematics(dt) {
        for (var i in particles) {
            var p = particles[i];
            p.position = p.position.add(p.velocity.multiply(dt));
            p.velocity = p.velocity.add(p.acceleration.multiply(dt));
        }
    }
    // ...
}

渲染

粒子可以用很多不同方式渲染，例如用圆形、线段(当前位置和之前位置)、影像、精灵等等。本文采用圆形，并按年龄生命比来控制圆形的透明度，代码片段如下:

function ParticleSystem() {
    // ...
    this.render = function(ctx) {
        for (var i in particles) {
            var p = particles[i];
            var alpha = 1 - p.age / p.life;
            ctx.fillStyle = "rgba("
                + Math.floor(p.color.r * 255) + ","
                + Math.floor(p.color.g * 255) + ","
                + Math.floor(p.color.b * 255) + ","
                + alpha.toFixed(2) + ")";
            ctx.beginPath();
            ctx.arc(p.position.x, p.position.y, p.size, 0, Math.PI * 2, true);
            ctx.closePath();
            ctx.fill();
        }
    }
    // ...
}

基本粒子系统完成

以下的例子里，每帧会发射一个粒子，其位置在画布中间(200,200)，发射方向是360度，速率为100，生命为1秒，红色、半径为5象素。

var ps = new ParticleSystem(); var dt = 0.01; function sampleDirection() { var theta = Math.random() * 2 * Math.PI; return new Vector2(Math.cos(theta), Math.sin(theta)); } function step() { ps.emit(new Particle(new Vector2(200, 200), sampleDirection().multiply(100), 1, Color.red, 5)); ps.simulate(dt); clearCanvas(); ps.render(ctx); } start("basicParticleSystemCanvas", step);
Run Stop

修改代码试试看 改变发射位置 向上发射，发射范围在90度内 改变生命 改变半径 每帧发射5个粒子

简单碰撞

为了说明用数值积分相对于分析解的优点，本文在粒子系统上加简单的碰撞。我们想加入一个需求，当粒子碰到长方形室(可设为整个Canvas大小)的内壁，就会碰撞反弹，碰撞是完全弹性的(perfectly elastic collision)。

在程序设计上，我把这功能用回调方式进行。 ParticleSystem类有一个effectors数组，在进行运动学模拟之前，先执行每个effectors对象的apply()函数:

而长方形室就这样实现:

// ChamberBox.js
function ChamberBox(x1, y1, x2, y2) {
    this.apply = function(particle) {
        if (particle.position.x - particle.size < x1 || particle.position.x + particle.size > x2)
            particle.velocity.x = -particle.velocity.x;

        if (particle.position.y - particle.size < y1 || particle.position.y + particle.size > y2)
            particle.velocity.y = -particle.velocity.y;
    };
}

这其实就是当侦测到粒子超出内壁的范围，就反转该方向的速度分量。

此外，这例子的主循环不再每次把整个Canvas清空，而是每帧画一个半透明的黑色长方形，就可以模拟动态模糊(motion blur)的效果。粒子的颜色也是随机从两个颜色中取样。

var ps = new ParticleSystem(); ps.effectors.push(new ChamberBox(0, 0, 400, 400)); // 最重要是多了这语句 var dt = 0.01; function sampleDirection(angle1, angle2) { var t = Math.random(); var theta = angle1 * t + angle2 * (1 - t); return new Vector2(Math.cos(theta), Math.sin(theta)); } function sampleColor(color1, color2) { var t = Math.random(); return color1.multiply(t).add(color2.multiply(1 - t)); } function step() { ps.emit(new Particle(new Vector2(200, 200), sampleDirection(Math.PI * 1.75, Math.PI * 2).multiply(250), 3, sampleColor(Color.blue, Color.purple), 5)); ps.simulate(dt); ctx.fillStyle="rgba(0, 0, 0, 0.1)"; ctx.fillRect(0,0,canvas.width,canvas.height); ps.render(ctx); } start("collisionChamberCanvas", step);
Run Stop

互动发射

最后一个例子加入互动功能，在鼠标位置发射粒子，粒子方向是按鼠标移动速度再加上一点噪音(noise)。粒子的大小和生命都加入了随机性。

var ps = new ParticleSystem(); ps.effectors.push(new ChamberBox(0, 0, 400, 400)); var dt = 0.01; var oldMousePosition = Vector2.zero, newMousePosition = Vector2.zero; function sampleDirection(angle1, angle2) { var t = Math.random(); var theta = angle1 * t + angle2 * (1 - t); return new Vector2(Math.cos(theta), Math.sin(theta)); } function sampleColor(color1, color2) { var t = Math.random(); return color1.multiply(t).add(color2.multiply(1 - t)); } function sampleNumber(value1, value2) { var t = Math.random(); return value1 * t + value2 * (1 - t); } function step() { var velocity = newMousePosition.subtract(oldMousePosition).multiply(10); velocity = velocity.add(sampleDirection(0, Math.PI * 2).multiply(20)); var color = sampleColor(Color.red, Color.yellow); var life = sampleNumber(1, 2); var size = sampleNumber(2, 4); ps.emit(new Particle(newMousePosition, velocity, life, color, size)); oldMousePosition = newMousePosition; ps.simulate(dt); ctx.fillStyle="rgba(0, 0, 0, 0.1)"; ctx.fillRect(0,0,canvas.width,canvas.height); ps.render(ctx); } start("interactiveEmitCanvas", step); canvas.onmousemove = function(e) { if (e.layerX || e.layerX == 0) { // Firefox e.target.style.position='relative'; newMousePosition = new Vector2(e.layerX, e.layerY); } else newMousePosition = new Vector2(e.offsetX, e.offsetY); };
Run Stop

总结

本文介绍了最简单的运动学模拟，使用欧拉方法作数值积分，并以此法去实现一个有简单碰撞的粒子系统。本文的精华其实只有两条简单公式(只有两个加数和两个乘数)，希望让读者明白，其实物理模拟可以很简单。虽然本文的例子是在二维空间，但这例子能扩展至三维空间，只须把Vector2换成Vector3。本文完整源代码可下载。

续篇会谈及在此基础上加入其他物理现象，有机会再加入其他物理模拟课题。希望各位支持，并给本人更多意见。

作者: Milo Yip 发表于 2010-06-14 16:19 原文链接

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