什么是反推数学

要讲清刘嘉忆到底做了什么，我们先来看看中南大学对此的新闻报道[1]中的一句话：“Liu Jiayi’s paper ……probes into a problem of reverse mathematics”，这句话的意思是刘嘉忆探究了反推数学（Reverse Mathematics）中的一个问题。反推数学是数理逻辑的一个小分支（刘嘉忆解决的西氏猜想是反推数学中的一个问题）。在上世纪80、90年代，反推数学还比较活跃。 上一个十年中，有些衰落。目前，又有了一点生气。现在，全球研究人员估计超过二十人。国内南京大学对反推数学有研究。

反推数学大致是这样的：通常的数学大致是从公理到定理的研究，而反推数学则是从定理（陈述）到公理的研究，二者正好方向相反。

举一个可能有些不恰当的例子，如果知道 X = 3 这一条件，那么我们可以推出 X ² = 9 ，这就是通常的数学。但是如果我们知道 X ² = 9 而要问什么条件可以保证这个结论成立的话，那么选择可就多了，X = 3 可以，X = -3 可以，X + 1 = 4，X - 1 = 2等等也都可以，不过我们或许会特别注意 | X | = 3 ，因为感觉这样“不多也不少”，而其余的则感觉有所遗漏。容易发现 X = 3 和 X ² = 9 这两个陈述的蕴意是有所差别的，当然这也是有语境的，我们自然认定是在全体整数或者实数的范围中考虑的，如果我们是在正数的范围中考虑，那么那两个陈述的蕴意则恰好相当，没有差别。

这个例子很简单，因为其中的陈述看起来很简单，它们的蕴意比较起来很容易。如果我们的陈述是实数的确界定理和闭区间套定理，那么要判断这两个陈述的蕴意就要麻烦一些，对于可能更复杂的两个陈述，判断起来则更不容易。可以说，反推数学就是要探讨（在一个基本体系中）一个陈述的精确蕴意(专业的词汇是证明论强度)，既不能多一点也不能少一点。为求精确，最好还是用一些符号：存在一个基本体系 S 以及一个陈述 T （它不能被 S 所证），目标是要在 S 上添加适当的公理（也有可能是一些规则），使得新的体系S’恰好能证出T，“恰好”体现为一则 S’ 要能证出 T ，二则同时 S 和 T 本身就蕴含 S’。

什么是西塔潘猜想

这就是刘嘉忆研究的领域。那他做了什么呢？二阶算术系统如果要详细说来还是有些复杂（有兴趣的读者可以参看Wiki词条 Second-order Arithmetic[2]），不过说到底其实差不多就可以理解为我们通常的分析系统（即实数系统，与此对应的，一阶算术系统是自然数系统）。拉姆齐二染色定理（Ramsey Theorem for Pair）用非形式的语言可以叙述为任何一个对边进行2-染色的含（可数）无穷个顶点的完全图都有一个单一染色的含有无穷个顶点的子完全图，而弱柯尼希定理（Weak König Lemma）则是说任何一个（可数）无穷二叉树都有一条无穷长的路径。这两条都是二阶算术中的陈述，说的是一个类中满足某种性质的子集存在，可以粗暴地认为它们在某种程度上都是在表现或者替代二阶算术中的选择公理（Axiom of Choice）（一般的“Axiom of Choice”可对超出可数无穷多的对象进行选择）。

对外行来说，上面几个概念其实并不重要，重要的是我们应该知道在反推数学中，研究的其实是二阶算术的各个子系统以及它们的强度关系，而最重要的是被称为 Big Five的五个子系统 RCA ₀ , WKL ₀ , ACA ₀ （后面两个与本文无关，故不列出，可参看Wiki词条[3]）。其中 WKL ₀ 是基本系统 RCA ₀ 添加弱柯尼希定理的系统，而 RCA ₀ 添加拉姆齐二染色定理的系统被称为 RT² ₂ (不在Big Five，类似还有 RT³ ₂ ，在此不表)。经过若干数学家的研究，他们发现了一些子系统间存在强弱的比较关系：和 RT² ₂ 形式接近的 RT³ ₂ 比 ACA ₀ 要强(其实一样)，而 RT² ₂ 则不比 ACA ₀ 强，（ ACA ₀ 比 WKL ₀ 强是基本的）等等(可参看[4]中的总结)，从这些结果，他们隐约认为 RT² ₂ 和 WKL ₀ 的强度是可以比较的，1995年英国数理逻辑学家西塔潘在一篇论文（On the Strength of Ramsey’s Theorem）[5]中发现WKL_0并不强于 RT² ₂ ，于是他猜测可能 RT² ₂ 要强于 WKL ₀ ：

这一猜想引发了大量研究，困扰了许多数学家十多年之久，直到刘嘉忆的出现，他证明了 RT² ₂ 并不包含 WKL ₀ ，从而给该猜想一个否定的回答。