[流体力学趣事]拳头大的雨滴见过没有?

标签: 物理 原创 流体力学 流体力学趣事 雨滴 | 发表时间:2011-09-02 03:59 | 作者:沐右 cpy
出处:http://songshuhui.net

恐怕没有人知道地球上每天会下多少场雨,有多少雨滴会落到地面上来。从云团里面的小水滴或者小冰晶开始,它们互相碰撞,合并在一起长大,直到整体的重量超过上升气流所能提供的向上的力量,然后在重力的作用下,落到地面上去,形成降雨。在下落的过程中,雨滴仍然会互相碰撞、融合长大,如果不考虑空气(另外一种流体)的影响,那么雨滴会在重力的作用下越来越快。

不过,实际的过程中,空气的阻力并不能够忽略。在速度比较快的情况下,空气对在其中运动的物体产生的阻力和物体的截面积成正比,和物体相对空气运动的速度平方成正比[1]。因此,刚开始下落的时候雨滴的速度会越来越快,而空气阻力也会越来越大直到接近重力的大小,最终雨滴落到地面的速度和原来云层相对地面的高度关系并不大,主要由雨滴的重力和空气阻力的平衡决定。(同样的道理,警方对天开枪鸣枪示警打出去的子弹,再落下来的时候就不会像刚出膛的时候杀伤力那么大了。)

从前面的分析可知,如果雨滴的大小(直径)为D,那么雨滴受到的重力会和D的三次方成正比;而雨滴受到的阻力正比于截面积(D的平方)再乘以速度的平方。因此,如果雨滴的大小越大,最终落到地面上雨滴的速度也应该越快。为什么,我们从来没有见到过拳头大小的像炮弹一样轰击到地面上的雨滴?

大家应该都有过拿盆、杯子等往空气里面泼水或者拿水管往空气里面喷水的经历。泼出去或者喷出去的水并不会保持连续的形状,在空气阻力、地球重力的作用下,水的表面张力并不能保持一大块水的整体性,水会断裂分离开来,形成一团团水滴,而且,表面张力倾向于使得水滴保持圆球的形状,这也促使水柱分离开来。对于雨滴来说,使得雨滴保持一个整体的力是表面张力,这个力的大小正比于雨滴的大小,而使得较大的雨滴分成几个雨滴的力是空气的阻力,在前边提到的运动平衡的情况下,这个力可以用雨滴的重力来估计。这样,通过比较水滴的表面张力和重力,我们可以估计出一个雨滴能够维持不分裂的最大大小,这个估计的数值大约是4毫米直径的样子 [2]

484px-Raindrops_sizes.svg.png
不同直径大小雨滴的形状示意图(来自维基百科英文页面“drop”)

比较小的雨滴形状并不是我们一般看到的水龙头滴下的“水滴”的样子,而是接近完美的球形。稍微大一些的雨滴,如上面图里面C或者D示意的那样,将会在空气阻力的作用下发生形状的变化,而比这个大小(比如说5mm)大的雨滴将不能维持自己的形状,最终在空气阻力的作用下分成几个雨滴。

科学家们可以用不同的方法去测量雨滴的大小,从而得到雨滴大小的分布。不同海拔、不同的天气条件下得到的雨滴大小并不太一样 [3,4],但是雨滴的的大小一般都小于几个毫米,这是液体的表面张力在我们日常生活中的一个体现。

raindrop sizes.png
典型的雨滴大小分布曲线(黑色实线),测到的绝大部分雨滴的直径都小于3毫米[4]

参考资料:

  • [1]可阅读《后跳飞机的007能否追上先跳的人?》和《高铁时速每提升10公里,能耗加倍?
  • [2]对于有兴趣了解公式推导过程的同学,这个数字是这样得来的:
    维持雨滴形状的力由表面张力(ϒ)提供,如果雨滴的半径为r(直径为D),那么F=ϒD=2ϒr;而破坏雨滴形状的力来自于空气阻力,在经过很长距离的空中运动之后,这个力和雨滴的重力相等,而雨滴最大的半径需要满足这两个力相等,因此F=mg=ρg 4πr3/3。这两者联立并代入水的表面张力和密度值等,能够给出最大的雨滴直径估计为D=2r~4mm。
  • [3]Zailiang Hu and R. C. Srivastava, Journal of the Atmospheric Sciences 52, 1761 (1995).
  • [4]C. R. Williams and K. S. Gage, Ann. Geophys. 27, 555 (2009).

 

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