小木偶悖論？

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我們知道，若小木偶說謊，身上某個就算變長了也沒什麼用的部位就會變長。然而，關於這件事情，有一個可能有趣的問題可以問：

若小木偶說：（P）「我的鼻子要變長了！」那麼，他的鼻子會發生什麼事？

一個簡單的想法是這樣的：

簡單想法
1. P要嘛是在說謊，要嘛不是。
2. 如果P是在說謊，那麼小木偶的鼻子接下來就會變長，然而，一旦小木偶的鼻子開始變長，P就變成真話，而這和原來的假設矛盾。
3. 如果P不是在說謊，那麼小木偶的鼻子接下來不會有動靜，然而，既然小木偶的鼻子沒有變長，P就變成假話，而這也和原來的假設矛盾。
4. 不管假設P是不是謊話。都會導出矛盾，所以這個情境蘊藏一個悖論。

根據「簡單想法」，當小木偶說了P，悖論就會產生：不管我們假設P是謊話或實話，都會導致矛盾。然而，事情就是這麼簡單嗎？


簡單想法是對的嗎？

在PTT邏輯版上，有一些人反駁「簡單想法」，他們認為小木偶的這個情境不會導致悖論。例如，有人認為（3）是錯的，因為，雖然我們可以根據原始故事，知道所有謊話都會導致小木偶的鼻子變長，然而，我們並不確定是否有一些實話也會導致小木偶的鼻子變長。再者，就算所有實話都不會導致小木偶的鼻子變長，我們也無從確定他的鼻子會不會剛好在他說了某句話之後恰好自然長長，或者被某人接長。總之，這類意見主張，（3）是錯的，就算小木偶沒說謊，也不保證他的鼻子不會變長。

這類意見其實很容易避開，只要對原來的小木偶情境做一些補充或修改就行了。例如，讓我們假設，在故事中，小木偶受到的詛咒內容是：

• 當小木偶說謊，他的鼻子就會變長。
• 在其它情況下，小木偶的鼻子都不會變長。

如果你不喜歡上面這個改法，我們甚至也可以不需要更故事設定，只需要修改我們對於情境的描寫：在小木偶說P的那段時間裡，恰好除了當初的詛咒之外，沒有其它任何會影響鼻子長度的因素存在。

我認為，提出前面那類反駁意見的人的問題是，他們對於該如何進行恰當理解和補充來讓眼前的問題變得有趣這件事情沒興趣。當然，對於某些活動沒有興趣這件事本身並不算是什麼需要改進的錯誤，不過，當你的談話對象試圖把一個他認為有趣的問題介紹給你，而且你希望彼此溝通順暢，甚至期待自己的意見對他有些幫助，你就應該同情地理解他想討論的問題。不過，若你對議題不感興趣，而對方也不是正妹，那麼，當然，就算了。

另外有一些人認為，不僅「簡單想法」是對的，而且這個鼻子的故事其實根本就是羅素悖論的一個案例，就跟在紙上寫「這張紙上寫的都是假的」一樣。這個說法有幾個錯誤。首先是用詞錯誤，這個紙上寫句子產生的悖論不是羅素悖論，它最多也只能是說謊者悖論。（若紙上同時也寫了「1+1=2」，那麼它連說謊者悖論也稱不上）

再來，就算紙上寫句子的情境能產生說謊者悖論（如此一來，這個情境就會是這樣：在「這張紙上寫的都是假的」之外，紙上沒有寫任何其它真句子），也不代表小木偶的情境一樣可以。小木偶說話的狀況跟說謊者悖論，至少有兩個重要差別

1. 小木偶說的話不見得自我指涉。
2. 根據設定，小木偶的鼻子是否變長，是基於他說的是謊話還是實話，而不是基於他說出來的話為不為真。

以下我分別說明這兩點。


自我指涉

自我指涉是說謊者悖論成立的基本條件，最簡單的例子就是一個句子說自己不為真：若它為真，它講的就是事實，但它講的事情是它自己不為真，所以它又變成不為真了...以此無限循環下去。前面寫在紙上的句子就有自我指涉，因為它談論的是寫在紙上的句子，包括它自己。當小木偶說「我的鼻子要變長了」，這句話並不指涉這句話本身。是的，這句話指涉小木偶的鼻子，所以你可以說小木偶說了一句話來談論他自己，但小木偶不是一句話，所以一句話指涉小木偶，跟一句話自我指涉，是不一樣的。考慮這個情境：

小木偶（得意吹牛）：我有30公分長！
小木偶（忽然想起）：（Q）糟糕我的鼻子要變長了囧

在這個情境中沒有悖論，小木偶說的第二句話宣稱自己的鼻子即將因為剛剛說的第一句話而變長，這是不折不扣的實話，對鼻子來說不會有判定問題。（若你用Q取代P改寫前面的「簡單想法」，你會發現（2）和（3）都變成錯的，以至於無法繼續推論下去）當然，小木偶的鼻子可能會因為他一下說謊一下誠實而又伸又縮，但只要小木偶沒因此發現自己其實是被設計成情趣用品，就沒有關係。

要讓小木偶說的話（至少間接地）自我指涉，我們需要更清楚的描述，例如這樣：

小木偶：我的鼻子即將因為我現在講的這句話變長了！

然而，在這種情況下，悖論也不見得會出現，詳見下文。


真話、假話、實話、謊話

雖然我們習慣上常把「說謊」和「說假話」、「說實話」和「說真話」交替使用，但是這不代表說謊就是「說出一句為假的句子」，或者說實話就是「說出一句為真的句子」。我們可以很容易想像這樣的案例：一個人撒謊，但說出來的句子卻恰好是真的，或者：一個人誠實以告，但說出來的話事實上不為真。

「簡單想法」之所以看似能導出悖論，是因為它試圖建立「若P是謊話，那麼鼻子就變長，然而，鼻子一旦變長，P又成真了，因此不再是假話」這樣的無限循環。然而，一旦我們知道謊話可以為真，實話可以為假之後，這樣的無限循環就跑不起來。根據故事設定，決定鼻子如何變化的，是小木偶說謊與否，而不是那些句子實際上為真與否。（若是後者，小木偶就會成為無價之寶，因為他可以用來判斷任何句子的真假）因此，即使小木偶真的說了一句關於他的鼻子動態的話，雖然他的鼻子動態確實會影響這句話的真假值，但是卻不會影響他說這句話時是否是在說謊。因此，無法如同「簡單想法」描述的那樣，導致悖論。


所以，鼻子到底會怎樣？

然而，當小木偶說了這句話：（R）「我的鼻子即將因為我現在講的這句話變長了！」雖然我們已經知道，不論接下來發生什麼事情，這句話作為實話或謊話的身份都不會因此改變，但是，我們或許還是好奇：接下來到底會發生什麼事情？小木偶的鼻子會變長，還是保持原狀？

我的意見是，這個問題的答案倚賴某些這個問題本身沒提供的資訊。要判斷接下來會發生什麼事，你必須知道小木偶說R的時候是不是在說謊，但是，若不提供其它資訊，你沒辦法知道這件事。

反過來說，若給定一些特定的故事背景，讓我們可以輕易判斷小木偶是否說了謊，這個問題就會變得很好回答。例如：若小木偶基於一些理由深信：不管他接下來說什麼話，鼻子都會變長，在這種情況下，當他說了R，他就是在說實話，鼻子不會有動靜。當然，因為小木偶的鼻子沒有動靜，我們我們知道R在這種情況下為假，但是這跟小木偶是否說謊無關。另外一種情況，若小木偶基於一些理由深信：不管他接下來說什麼話，鼻子都不會變長，若此，當他說了R，他就是在撒謊，鼻子就會變長。當然，因為小木偶的鼻子變長，所以R在這種情況下會為真，但是這也跟小木偶是否說謊沒有關係。然而，若沒有提供像上面那樣額外的補充，我認為，對於這個問題，我們的背景知識不足，無法判斷。