如何给一条 Twitter 消息建立衰变模型？

有时流量数据会让人上瘾。谁不想看看到底谁在浏览自己的网页呢？但你肯定没有见过《连线》作者 Rhett Allain 这么玩儿数据的：为一条含有链接的推讯建立衰变模型。

bit.ly 会给任何 bit.ly 链接提供即时数据。你只需在 bit.ly 链接后面加上一个“+”即可以看到该页面的访问信息，比如这个：http://bit.ly/loMBP9+。很酷吧。

上面这些数据来自Rhett的一个链接，流量高峰几乎可以肯定是因为《连线》官推（@wired）发了一条含有该链接的推讯，该账户有85万粉丝。而 Rhett（@rjallain）只有500多粉丝。

可以像考虑衰变问题那样为上述流量建模吗？

Rhett当时的第一反应就是这些数据看上去像是放射性衰变。于是他打算计算出一条转发推讯的半衰期。什么是半衰期呢？

他假定有某种东西，比如放射性原子或啤酒沫。假设这种东西数量为 (N)，并且假定这些东西减少的速度与其数量成比例。在给定的时间间隔 Δt 内，可以表达如下：

如果 Δt 趋于零，我们可以得到一个导数。数量是时间的函数：

这一点很容易验证。只要看数据是否满足某个指数函数。当然，除了连线官推（@wired）带来的流量之外，还有其它因素，但几乎可以忽略不计。

下面是流量数据和指数函数的拟合情况（通过 Vernier 的 Logger Pro 软件模拟而成）：

拟合函数和拟合参数如下：

点击基准数为 Logger Pro 自动添加。这表明在指数衰变模型下，Rhett每分钟能获得约20次点击。N 并非总点击数，而是每分钟点击数。把点击数作为时间的函数，可以得到一条plot曲线。

似乎衰变模型并不适合这种情况。每分钟点击次数的减少速度似乎和每分钟点击数无关。于是他打算换个方法。

另一个流量模型

接着 Rhett 采用了一种完全不同的办法，假定如下：

• @wired 转发了这个链接。
• 有85万关注者可能会看到这个链接。此处忽略了那些看到链接的非关注者。将此变量设为 F。
• 这些关注者中的确有些会查看自己的 Twitter 消息。假定这部分关注者为 w。
• 这些看到链接的关注者中还有一部分会打开链接，假定这部分人为 c。
• 还有些人会通过其它途径点击该链接，但和连线官推无关，假定这部分人为 B。

用图表可表示如下（大圈为总关注者数，中圈为查看者，小圈为点击者）：

也就说是只有一部分关注者会看到这个链接，并且其中只有一部分会点击链接。

含有链接的推讯发出一分钟后，所获得点击数如下：

那么下一分钟呢？还有 F 个关注者，但如果他们点击过的话不会再次点击。担忧例外，比如 Rhett 的老爸通常一个链接会点击两次，因为他认为只有这样才能打开链接。

w 也可能生变。但这里假定其近似为常量。

那么点击链接的人数 c 呢？这部分人更少。假定你是一名 Twitter 用户，第一分钟内没有点击该链接。现在你在看到这个链接之前已经看过20条推讯。那么你点击这条含有链接的连线官推的几率有多大呢？这取决于推讯的多少，以及你的冲动程度。但显然不是线性函数关系，因为如果是的话过一段时间之后几率会变成零。

假定你是一名看到这个链接的人，并假定每分钟你都会在feed中看到一个新链接。Rhett 假定你点击某个链接的几率和链接总数成比例。所以，前两分钟内：

l 是某个常量，代表增加的推讯数。0.25 是一个假定比例，针对没有链接被点击的情况。

在这里假定其它点击次数（B）也为常量。还有另一个假设，有些点击者会转发该链接，假定其为二阶效应，可以忽略不计。

由此得出第二分钟内的函数关系：

N₁ 代表第一分钟内的点击次数。然后Rhett在 Google 文档内对该模型进行了研究。得出以下参数：

• w = 0.02
• B = 15

对于 c，取 l₀ = 25，亦即假定每分钟普通推友能看到25条新推讯。通过这些推讯，Rhett得出一个概率系数0.45。结果好于预期。

拟合的不错，但 Rhett 相信可以找出一个通用模型。

另一起事件

推友 @majornelson 更新了一条含有 Rhett 文章链接的推讯此人友24万粉丝。

Rhett 打算通过这次事件验证上面的出的模型。假定两者粉丝情况类似，以便得出相同的 w 和 c。同样假定 B＝5，这样变量只有一个 F。

拟合度并不理想。可能原因如下：

• 模型本身问题。
• 两者粉丝截然不同。这意味着 Rhett 模型的某些参数有所不同。
• 和每天中的时间段有关。连线发推是在中午12点左右，而后者在3:30左右。Rhett 的模型没有考虑到时间段。

Rhett 首先验证第二点。这种可能性很大，后者粉丝明显少于前者，但在第一分钟内点击次数类似。Rhett把@majornelson事件中的 w 从 0.02 调高到 0.055，得到下面的曲线：

还不错吧。Rhett 认为 @majornelson 的粉丝更有可能查看自己的 Twitter feed。他觉得这说得过去。或许很多连线的粉丝都真正注意吧。

来源：《连线》

Rhett Allain 为东南路易斯安那大学物理学助理教授，喜欢教授和讨论物理学。有时把东西拆散了无法组装回原样。你可以在 Twitter 上关注他（@rjallain）。