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一. 背景
，即用户 u(i)对商品c(i)感兴趣，树结构 T 决定了模型 M 需要选择哪些非叶子节点来对用户 u(i)返回商品c(i) 。在统一目标下联合优化 M 和 T 能够避免二者优化方向的冲突造成的整体结果次优。为此，在JTM中，我们在一个共同的损失函数下联合优化 M 和 T 。我们首先构造联合优化的目标函数。
。其中 bj(⋅) 是把一个节点投影到其在第 j 层的祖先节点的投影函数，lmax 为树 T 的层数。记 
为模型 M 返回的用户 u 对节点 π(c) 的偏好概率的估计值，其中 θ 为模型的参数。给定 n 对正样本
，我们希望联合优化 π 和 θ 来拟合上述的用户对树上节点的偏好分布。为此，我们希望 π 和 θ 最小化如下的全局经验损失函数：
中的归一化项。
为目标商品为 ck 的训练样本集合。把树的叶子节点和候选集作为顶点，叶子节点和候选集之间的全连接作为边，把 Lck,nm 作为 ck 和 nm 之间边的权重，我们可以构造一个带权二部图V ，如2.1节的流程图(b)所示。在这种情况下，每个可能的 π(⋅) 都是 V 的一个匹配，同时我们有
为目标商品为 ck 的训练样本集合，s 和 e 分别为一个起始和终止层。我们的分段算法，首先通过找到一个最优映射 π∗ 来最大化 
，等价于将候选集分配到第d层的所有节点上。对于一个完整二叉树来说，每个第d层的节点应该包含不超过 2lmax−d个商品。这也是一个最大权匹配问题，但由于每个商品可能的分配位置大大减少了，所以可以通过贪婪算法有效求解。然后，在保持每个商品在第 d 层的祖先节点不变的前提下，即保证∀c∈C,bd(π(c))=bd(π∗(c)) 的前提下，继续将候选集在接下来的d层中进行分配，即优化
。不断重复这一过程，直至每个商品被分配到叶子节点上为止。整个算法的流程如下图所示：
Item-CF: 基本的协同滤波算法，被广泛应用于个性化推荐任务中。
YouTube product-DNN: 应用于Youtube视频推荐的向量内积检索模型。
HSM: 层次Softmax模型，被广泛应用于NLP领域，作为归一化概率计算的一种替代.
TDM： 我们此前的工作深度树匹配推荐技术。
DNN: TDM模型去掉树结构后的版本。该方法不使用索引结构，在预测时会对全量候选集进行打分，再挑选topk。由于对全量候选集打分的计算复杂度非常高，因此无法实际应用，但可以作为强baseline来进行比较。
JTM: 本文中提出的联合优化方法。同时，我们对比了JTM的两个变种版本，分别为JTM-J和JTM-H。其中，JTM-J为使用了树结构联合优化但没有采用层次化用户兴趣表达的版本；JTM-H相反，其使用了层次化用户兴趣表达，但会使用固定的初始树结构而不进行联合学习。
开源地址
之前的TDM解决方案已经基于阿里巴巴自研的深度学习平台X-DeepLearning在 Github 开源，关注“阿里技术”官方公众号，并在对话框内回复“TDM”，即可获得 Github 下载链接、了解更多详情。
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