经典证明:等边三角形内一点到各顶点的距离长可构成一个三角形

标签: Brain Storm 几何 证明 | 发表时间:2011-08-12 17:49 | 作者:Matrix67 Andy
出处:http://www.matrix67.com/blog

    这是初中平面几何的一个经典问题:等边三角形 ABC 内有任意一点 P,求证 PA 、 PB 、 PC 的长度一定能构成一个三角形。

      


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
      

    这里给出两种证明方法。传统的证明方法是,把 △CPA 绕着点 C 逆时针旋转 60 度,从而旋转后的 CA 将会和 CB 重合,同时 P 点落在了 P' 的位置。由于 △CP'B 是由 △CPA 旋转过去得到的,因此 P'B = PA 。另外,线段 CP' 是 CP 绕着点 C 旋转 60 度得到的,说明 CP 和 CP' 长度相等且夹角为 60 度,即 △CPP' 是等边三角形,于是 PP' = CP 。那么, △BPP' 的三边长事实上分别等于 PA 、 PB 、 PC ,命题得证。

 
 
      

    今天我学到了另外一种证明方法,看上去更简洁巧妙一些。过点 P 分别作三边的平行线,将整个三角形划分为三个蓝色四边形。那么,图中的三个蓝色四边形都有一组对边平行,因而他们都是梯形;事实上,容易看出,这些梯形的两个底角都是 60 度,因而他们都是等腰梯形。只需注意到,等腰梯形的两条对角线长度是相等的,因此红色三角形 A'B'C' 的三边长度事实上就分别等于 PA 、 PB 、 PC ,命题得证。

来源:http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Pompeiu2.shtml

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