圆周率乱入

把计算器的角度运算设定为角度制（Deg）。输入 55555555 并按下“1/x”（或者直接输入 1 ÷ 55555555），再按下 sin。你会发现，屏幕上会显示 3.1415927 × 10 ^-10 ，这几个数字正好是圆周率的前几位。如果你还嫌不精确，第一步再多按几个 5 试试。

这并不是巧合。注意到 1/180 = 0.00555555... ，换句话说 55555...55 （连续 n 个 5 ）的倒数就近似于 180 × 10 ^-n-2 。另外，当 x 很小很小的时候，sin(x) 会与 x 非常接近，但在角度制中，我们必须写作 sin(x) ≈ (π/180) x 。因此，sin(1/555..55) ≈ (π/180) × (180 × 10 ^-n-2 ) = π × 10 ^-n-2 。

神秘的 12345679

在计算器上输入 12345679（注意，没有 8）。叫你的朋友在 1 到 9 之间选择一个最喜欢的数。假设你的朋友选了数字 5 吧。然后在计算器上按 × 5，计算器上将会显示一个很奇怪的数——61728395，就好像魔术表演失败了一样。别急，再按一下 × 9，奇迹就出现了：计算器上将会显示出 555555555。

这是因为，111111111 正好可以分解成 12345679 × 9，因而 12345679 × 5 × 9 就等于 111111111 × 5 了。可能有的读者会问，为什么因数 12345679 里偏偏少一个 8 呢？难道 12345679 这个数仅仅是一个巧合？不是的。12345679 大有来头，死理性派以后慢慢道来。

又见 0.618

在你的计算器上输入 1，然后不断地按 “+”、“1”、“=”、“1/x”、“+”、“1”、“=”、“1/x”⋯⋯不一会儿，你就会发现，计算器上显示出越来越精确的黄金分割值：0.6180339887...。

这是因为，黄金分割有一个连分数表达：

我们可以证明，上述连分数就是黄金分割。令

则有等式

可以解得

类似地，在你的计算器上输入 2，然后不断地按 “+”、“2”、“=”、“1/x”、“+”、“2”、“=”、“1/x”⋯⋯等到什么时候按累了，就按下“+”、“1”收尾。你会发现，计算器上显示着根号 2 的精确值：1.41421356... 。

这也是因为，根号 2 有一个连分数的表达：

cos 的不动点

把计算器的角度运算设定为弧度制（Rad）。在计算器上随便输一个数，然后不断按 cos 键。你会发现，不管你最初输入的是什么数，如此按下去的最终结果总会是一个固定的值——0.739085...。

这个点就是函数 y=cos(x) 和 y=x 的交点，也就是 cos(x) = x 的唯一解。

一个小魔术

让你的朋友在计算器上输入一个他喜欢的三位数，然后叫他把这个数乘以 91。让他把结果的前面部分用手指挡住，只露出结果的最后三位给你看。你便能立即说出你的朋友一开始输入的那个三位数。比方说，你的朋友选择了 516，则计算器上会显示 516 × 91 = 46956。你只看到 956 三个数字，便能很快猜出原数 516 来。

你的做法很简单：只需要把 956 再乘以 11，结果的最后三位就变回原数了。956 × 11 = 10516，末三位正好是 516。而乘以 11 是可以心算的，只要错位相加就可以了。

这个小魔术的原理很简单。91 × 11 = 1001，而任意一个三位数乘以 1001 后末三位都不会变。你的朋友把原数乘了 91，你再把结果（的末三位）乘以 11，相当于你们合作把原数乘以了 1001，末三位自然就和原来一样了。