[流体力学趣事]拳头大的雨滴见过没有？

恐怕没有人知道地球上每天会下多少场雨，有多少雨滴会落到地面上来。从云团里面的小水滴或者小冰晶开始，它们互相碰撞，合并在一起长大，直到整体的重量超过上升气流所能提供的向上的力量，然后在重力的作用下，落到地面上去，形成降雨。在下落的过程中，雨滴仍然会互相碰撞、融合长大，如果不考虑空气（另外一种流体）的影响，那么雨滴会在重力的作用下越来越快。

不过，实际的过程中，空气的阻力并不能够忽略。在速度比较快的情况下，空气对在其中运动的物体产生的阻力和物体的截面积成正比，和物体相对空气运动的速度平方成正比^[1]。因此，刚开始下落的时候雨滴的速度会越来越快，而空气阻力也会越来越大直到接近重力的大小，最终雨滴落到地面的速度和原来云层相对地面的高度关系并不大，主要由雨滴的重力和空气阻力的平衡决定。（同样的道理，警方对天开枪鸣枪示警打出去的子弹，再落下来的时候就不会像刚出膛的时候杀伤力那么大了。）

从前面的分析可知，如果雨滴的大小（直径）为D，那么雨滴受到的重力会和D的三次方成正比；而雨滴受到的阻力正比于截面积（D的平方）再乘以速度的平方。因此，如果雨滴的大小越大，最终落到地面上雨滴的速度也应该越快。为什么，我们从来没有见到过拳头大小的像炮弹一样轰击到地面上的雨滴？

大家应该都有过拿盆、杯子等往空气里面泼水或者拿水管往空气里面喷水的经历。泼出去或者喷出去的水并不会保持连续的形状，在空气阻力、地球重力的作用下，水的表面张力并不能保持一大块水的整体性，水会断裂分离开来，形成一团团水滴，而且，表面张力倾向于使得水滴保持圆球的形状，这也促使水柱分离开来。对于雨滴来说，使得雨滴保持一个整体的力是表面张力，这个力的大小正比于雨滴的大小，而使得较大的雨滴分成几个雨滴的力是空气的阻力，在前边提到的运动平衡的情况下，这个力可以用雨滴的重力来估计。这样，通过比较水滴的表面张力和重力，我们可以估计出一个雨滴能够维持不分裂的最大大小，这个估计的数值大约是4毫米直径的样子 ^[2]。

不同直径大小雨滴的形状示意图（来自维基百科英文页面“drop”）

比较小的雨滴形状并不是我们一般看到的水龙头滴下的“水滴”的样子，而是接近完美的球形。稍微大一些的雨滴，如上面图里面C或者D示意的那样，将会在空气阻力的作用下发生形状的变化，而比这个大小（比如说5mm）大的雨滴将不能维持自己的形状，最终在空气阻力的作用下分成几个雨滴。

科学家们可以用不同的方法去测量雨滴的大小，从而得到雨滴大小的分布。不同海拔、不同的天气条件下得到的雨滴大小并不太一样 ^[3,4]，但是雨滴的的大小一般都小于几个毫米，这是液体的表面张力在我们日常生活中的一个体现。

典型的雨滴大小分布曲线（黑色实线），测到的绝大部分雨滴的直径都小于3毫米^[4]。

参考资料：

• [1]可阅读《后跳飞机的007能否追上先跳的人？》和《高铁时速每提升10公里，能耗加倍？》
• [2]对于有兴趣了解公式推导过程的同学，这个数字是这样得来的：
  维持雨滴形状的力由表面张力（ϒ）提供，如果雨滴的半径为r（直径为D），那么F=ϒD=2ϒr；而破坏雨滴形状的力来自于空气阻力，在经过很长距离的空中运动之后，这个力和雨滴的重力相等，而雨滴最大的半径需要满足这两个力相等，因此F=mg=ρg 4πr³/3。这两者联立并代入水的表面张力和密度值等，能够给出最大的雨滴直径估计为D=2r~4mm。
• [3]Zailiang Hu and R. C. Srivastava, Journal of the Atmospheric Sciences 52, 1761 (1995).
• [4]C. R. Williams and K. S. Gage, Ann. Geophys. 27, 555 (2009).