朴素贝叶斯分类

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贝叶斯定理

英国数学家贝叶斯（Thomas Bayes）曾经给出如下定理：

P(A)表示A事件发生的概率，P(B)表示B事件发生的概率；P(A|B)表示在B事件已经确定发生的情况下，发生A事件的概率；P(B|A)表示在A事件已经确定发生的情况下，发生B事件的概率；P(AB)表示AB事件同时发生的概率。所以：

P(A)P(B|A)=P(AB)=P(B)P(A|B)

也就是说，A事件发生的概率乘以A事件已发生条件下B事件发生的概率，和B事件发生的概率乘以B事件已发生条件下A事件发生的概率，这二者是相等的，都等于AB事件同时发生的概率。

（特例：如果A、B是独立事件，互不相关，那么P(A)=P(A|B)，P(B)=P(B|A)，于是：P(A)P(B)=P(AB)。）

变换一下得到：

P(B|A)=P(B)P(A|B)/P(A)

在很多场景下，P(A|B)是容易得出的，但是P(B|A)不容易获得，这时可以利用贝叶斯公式求得。

我们还可以把贝叶斯定理推论到三元情形：

P(A|B,C)=P(B|A)P(A)P(C|A,B) / (P(B)P(C|B))

朴素贝叶斯分类（Naive Bayesian Classification）

假设具备如下分类：C1, C2, C3, … Cn，

同时，待分类项x具备如下相关属性分类项：a1, a2, a3, … an，

接着我们定义x属于Ck分类，当且仅当：P(Ck|x)=max{P(C1|x), P(C2|x), … P(C3|x)}。这一步是属于对分类器的应用。

也就是说，根据x的相关属性分类项来判断，和哪一分类最匹配时，x就算属于该分类。

下面我们开始进行分类器的构建：

1、确定相关特征属性分类项。就是上述的a1, a2, … an，对于x出现在某分类Ci中的概率，等于每个特征属性出现在该分类中的概率之积：

P(x|Ci)=P(a1|Ci)P(a2|Ci)…P(an|Ci) —— 公式A

2、整理取得训练样本。这个样本的数量和准确性会大大影响到分类的准确性，很多时候需要清洗样本数据。

3、分别计算每个类别下每个相关属性的概率，即：

P(ak|Ci)，其中1<=k<=m，ak表示任一相关属性，1<=i<=n，Ci表示任一分类。

根据贝叶斯定理和公式A，可以得到x事件出现在Ci分类中的概率：

P(Ci|x)P(x)=P(Ci)P(x|Ci)=P(Ci)P(a1|Ci)P(a2|Ci)…P(an|Ci) —— 公式B

通过比较对任意的i，1<=i<=n的时候，P(Ci|x)P(x)的取值，从中找到最大值，就可以找到x的分类——因为对于不同的i，P(x)在是恒定值，所以对此问题而言，比较P(Ci|x)P(x)的最大值和比较P(Ci|x)的最大值是一致的。

举一个具体的例子：

一批商品，分类C1是正品，C2是次品。现在有两个属性分类项：a1表示质量，划为<1千克和>=1千克两个分类；a2表示体积，划为<1cm³和>=1cm³两个分类。

经过100个商品的样本统计，其中正品有80个，其中有60个质量<1千克，20个质量>=1千克，有40个体积<1cm³，40个体积>=1cm³；而余下的次品20个中，有5个质量<1千克，15个质量>=1千克，4个体积<1cm³，16个体积>=1cm³。

也就是说：

P(C1)=80/100, P(a1<1|C1)=60/80, P(a1>=1|C1)=20/80, P(a2<1|C1)=40/80, P(a2>=1|C1)=40/80

P(C2)=20/100, P(a1<1|C2)=5/20, P(a1>=1|C2)=15/20, P(a2<1|C2)=4/20, P(a2>=1|C2)=16/20

下面使用已经计算完成的分类器进行分类：

有一个待分类的商品x，它的质量是0.8千克，体积是1.1cm³，那么：

根据公式B：

P(x)P(C1|x)=P(C1)P(x|C1)=P(C1)P(a1<1|C1)P(a2>=1|C1)=0.3

P(x)P(C2|x)=P(C2)P(x|C2)=P(C2)P(a1<1|C2)P(a2>=1|C2)=0.12

所以，该商品判断为C1正品。

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