时间序列分段算法 [Time series Breakout Detection]

在时间序列分析中，断点检测（breakout detection）是一个很基本的问题。

通过捕捉时序数据中的断点（breakout），来发现时序数据所表示的系统在过去是否发生了某种事件（event）,进而为系统诊断提供必要的数据支持。

为了实现对时序断点的检测，我们首先需要对时序的整体时序做拟合。

这里我们通过一条直线来拟合一段时序，如果时序的趋势发生了变化，则用多条直线来拟合整条时序数据。

如下是对一条波动规律明显的时序做拟合之后的结果。

每个红色线条的转折点，就是我们找到的断点。

以上数据是我们在实验环境下，为了检测算法效果而人工构造的一条时序。

那么，该算法在实际情况下表现如何？

一下是一条实际的股票价格时序数据。我们通过该算法进行断点检测，并将断点红红色线条连起来的效果：

算法介绍：

算法所使用的关键即使：

1. 单变量线性回归，用来拟合某一段时序

2. 动态规划算法，  用来全局最大化断点检测效果。

算法核心代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include "lsp.h"

static double loss(double * s, int n){
    int i;
    double t;
    double g0   = 0.0, g1   = 0.0; 
    double h00  = 0.0, h01  = 0.0, h10  = 0.0, h11  = 0.0;
    double hv00 = 0.0, hv01 = 0.0, hv10 = 0.0, hv11 = 0.0;
    double l0, l1;

    // grad and hessian matrix
    for (i = 0; i < n; i++){
        t    = s[i];
        g0  += t;
        g1  += t * (1.0 + i);
        h00 += 1.0;
        h01 += 1.0 + i;
        h11 += (1.0 + i) * (1.0 + i);
    }
    h10 = h01;

    // inverse of hessian
    t = h00 * h11 - h01 * h10;
    hv00 = h11 / t;
    hv01 = hv10 = -h01 / t;
    hv11 = h00 /t;

    // the theta
    l0 = hv00 * g0 + hv01 * g1;
    l1 = hv10 * g0 + hv11 * g1;

    // sqare loss
    t = 0.0;
    for (i = 0; i < n; i++){
        t += (l0 + l1 * (i + 1) - s[i]) * (l0 + l1 * (i + 1) - s[i]);
    }
    return t;
}

int * lsp(double * ts, int n, int min_size, double beta, int *ol){

    if (!ts || min_size < 2 || n < 2 * min_size || !ol){
        return NULL;
    }

    // prev breakout point
    int * prev = (int*)malloc(sizeof(int) * (n + 1));
    memset(prev, 0, sizeof(int) * (n + 1));

    // number of breakout point
    int * num  = (int*)malloc(sizeof(int) * (n + 1));
    memset(num, 0, sizeof(int) * (n + 1));

    // F scores
    double * F = (double*)malloc(sizeof(double) * (n + 1));
    memset(F, 0, sizeof(double) * (n + 1));

    // loss 
    double * lossv = (double*)malloc(sizeof(double) * (n + 1));
    memset(lossv, 0, sizeof(double) * (n + 1));

    for (int s = 2 * min_size; s < n + 1; ++s){
        for (int t = min_size; t < s - min_size + 1; ++t){
            //double ls = loss(ts + prev[t], t - prev[t]);
            double ls = lossv[t];
            double rs = loss(ts + t, s - t);
            double as = loss(ts + prev[t], s - prev[t]);
            double score = (as - ls - rs) * (t - prev[t]) * (s - t) /    \
                           ((s - prev[t]) * (s - prev[t])) - num[t] * beta;
            score += F[t];
            if (score > F[s]){
                num[s] = num[t] + 1;
                F[s] = score;
                prev[s] = t;
                lossv[s] = rs;
            }
        }
    }

    int k = num[n];
    *ol = k;
    int * re = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
    memset(re, 0, sizeof(int) * k);
    int i = n;
    while(i > 0){
        if (prev[i])
            re[--k] = prev[i];
        i = prev[i];
    }

    free(prev);  prev  = NULL;
    free(num);   num   = NULL;
    free(F);     F     = NULL;
    free(lossv); lossv = NULL;
    return re;
}

算法复杂度上限为：O(n * n * n)， 如果时序中的断点明显，切规律则算法复杂度接近 O(n * n)。