算法系列总结：回溯算法（解火力网问题）

理论辅助：

回溯算法也叫试探法，它是一种系统地搜索问题的解的方法。回溯算法的基本思想是：从一条路往前走，能进则进，不能进则退回来，换一条路再试。用回溯算法解决问题的一般步骤为：

1、定义一个解空间，它包含问题的解。

2、利用适于搜索的方法组织解空间。

3、利用深度优先法搜索解空间。

4、利用限界函数避免移动到不可能产生解的子空间。

问题的解空间通常是在搜索问题的解的过程中动态产生的，这是回溯算法的一个重要特性。

还是那个基调，不喜欢纯理论的东西，喜欢使用例子来讲诉理论，在算法系列总结：动态规划(解公司外包成本问题） 的那一节里面 我们举得是经典的0-1背包问题，在回溯算法里面也有一些很经典的问题，当然，动态规划的0-1背包问题其实也可以使用回溯算法来解。在诸如此类似的求最优解的问题中，大部分其实都可以用回溯法来解决，可以认为回溯算法一个”通用解题法“，这是由他试探性的行为决定的，就好比求一个最优解，我可能没有很好的概念知道怎么做会更快的求出这个最优解，但是我可以尝试所有的方法，先试探性的尝试每一个组合，看看到底通不通，如果不通，则折回去，由最近的一个节点继续向前尝试其他的组合，如此反复。这样所有解都出来了，在做一下比较，能求不出最优解吗？

例子先行，现在我们来看看经典的N后问题

问题描述：在n*n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际象棋的规矩，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。n后问题等价于在n*n格的棋盘上方置n个皇后，任何2个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上。我们需要求的是可放置的总数。

基本思路：   用n元组x[1；n]表示n后问题的解。其中，x[i]表示皇后i放置在棋盘的第i行的第x[i]列。由于不容许将2个皇后放在同一列上，所以解向量中的x[i]互不相同。2个皇后不能放在同一斜线上是问题的隐约束。对于一般的n后问题，这一隐约束条件可以化成显约束的形式。如果将n*n 格的棋盘看做二维方阵，其行号从上到下，列号从左到右依次编号为1,2，...n。从棋盘左上角到右下角的主对角线及其平行线（即斜率为-1的各斜线）上，2个下标值的差（行号-列号）值相等。同理，斜率为+1的每条斜线上，2个下标值的和（行号+列号）值相等。因此，若2个皇后放置的位置分别是（i,j）和（k,l）,且 i-j = k -l 或 i+j = k+l，则说明这2个皇后处于同一斜线上。以上2个方程分别等价于i-k = j-l 和 i-k =l-j。由此可知，只要|i-k|=|l-j|成立，就表明2个皇后位于同一条斜线上。

代码：

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#include <stdio.h> 
#include <math.h> 
#include<stdlib.h> 
static int n,x[1000]; 
static    long sum; 
int Place(int k) 
{ 
for(int j=1;j <k; j++) 
    if((abs(k-j) == abs(x[j]-x[k]))||(x[j]==x[k])) return 0; 
     return 1; 
  }

void Backtrak(int t) 
{ 
   if(t>n) sum++; 
   else 
       for(int i=1; i <= n; i++) 
       { 
            x[t] =i; 
            if(Place(t))Backtrak(t+1); 
       } 
}

int main() 
{ 
    int nn; 
    while(scanf("%d",&nn)!=EOF) 
    { 
    n=nn; 
    sum=0; 
    for(int i=0;i<=n;i++) 
    x[i]=0; 
    Backtrak(1); 
    printf("%d\n",sum); 
} 
}

这段代码有必要解释一下，Place（int）即尝试看是否可以，如果不可以则回退到t+1层，再尝试其他的组合。

这里也道出了回溯算法的核心思想：但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择

算法实践：

问题描述：在一个n*n的网格里，每个网格可能为“墙壁”（用‘X’表示）和“街道”（用‘.’表示）。现在在街道放置碉堡，每个碉堡可以向上下左右四个方向开火，子弹射程无限远。墙壁可以阻挡子弹。问最多能放置多少个碉堡，使它们彼此不会互相摧毁。

如下面四张图，墙壁用黑正方形表示，街道用空白正方形表示，圆球就代表碉堡。1,2,3是正确的，4,5是错误的。以为4,5里面在某一行或者某一列有两个碉堡，这样他们就会互相攻击了。意思明白了吗？可能我的表达很不清晰，呵呵….

输入输出示例

Sample input:

4       ——————输入的n值 
.X.. 

.... 

XX..

.... 

2 
XX 
.X 
3 
.X. 
X.X 
.X. 
4 
.... 
.... 
.... 
....

Sample output:

5 
1 
5 
4 

初拿到这个问题，你会不会想到回溯算法呢？有人说遍历墙的位置，然后再墙的上下左右四个格子放置碉堡会得到最优解，这个我没有验证过，细细的用笔画了画，好像是这么回事，但是很多时候要知道最优解用什么方法是很难发现的，利用通用解题方法回溯法，我们可以在一片茫然的时候开始我们的编程

首先我们来分析一下这个问题：使用回溯法，我们尝试每一种可能放置的情况，然后进行判断是否满足要求，若不满足，尝试放到下一个单元格，如此反复，最终，我们将所有可能放置的情况全部遍历出来了，连所有情况都出来了，难不成还找不到最优解吗？哈哈。。说做就做…

View Code

    #include <stdio.h>
     char map[4][4];
     int best,n;
     int canput(int row, int col)
     {
        int i;
        for (i = row - 1; i >= 0; i--) 
        {
          if (map[i][col] == 'o') return 0; 
          if (map[i][col] == 'x') break;
        }
        for (i = col - 1; i >= 0; i--)
        {
          if (map[row][i] == 'o') return 0; 
          if (map[row][i] == 'x') break;
        }
        return 1;
     }
 
     void solve(int k,int tot)
     {
        int x,y;
        if(k==n*n)
        {
          if(tot>best) 
          {
           best=tot;   return;
          }
        }
        else
        {
          x=k/n;
          y=k%n;
          if((map[x][y]=='.') && (canput(x,y) ) )
          {
            map[x][y]='o';
            solve(k+1,tot+1);
            map[x][y]='.';
          }
         solve(k+1,tot);
         }
      }
 
     int main()
     {
        int i,j;
        scanf("%d",&n);
        while(n>0)
        {
          for(i=0;i< n;i++)
             for(j=0;j< n;j++)
                 scanf("%1s",&map[i][j]); 
          best=0;
          solve(0,0);
          printf("%d\n",best);
          n=0;                             
          scanf("%d",&n);
        }
        return 0;
 }

对上面的代码做一下点解释，canput是做检验的，检验放在某个地点到底行不行得通，solve才是真正进行递归回溯的函数。。