本文主要基于这篇文章：A Note on the Inception Score，属于读书笔记的性质，为了增加可读性，也便于将来复习，在原文的基础上增加了一些细节。
很多关于 GAN 生成图片的论文中，作者评价其模型表现的一项重要指标是 Inception Score（下文简称 IS）。其名字中 Inception 来源于 Google 的 Inception Net，因为计算这个 score 需要用到 Inception Net-V3（第三个版本的 Inception Net）。
Inception Net 是图片分类网络，在 ImageNet 数据库上训练，ImageNet 数据库共有 1.2M 个 RGB 图片，分为 1000 类。Inception Score 只是把 Inception Net-V3 作为一个工具，理解 Inception Score 不需要知道 Inception Net-V3 的细节，各种深度学习框架中都已经包含了预训练好的 Inception Net-V3 了，直接拿来用就好了。
众所周知，评价一个生成模型，我们需要考验它两方面性能：1. 生成的图片是否清晰；2. 生成的图片是否多样。生成的图片不够清晰，显然说明生成模型表现欠佳；生成的图片够清晰了，我们还要看是不是能生成足够多样的图片，有些生成模型只能生成有限的几种清晰图片，陷入了所谓 mode collapse，也不是好的模型。
Inception Score 是这样考虑这两个方面的：
1. 清晰度：把生成的图片 x 输入 Inception V3 中，将输出 1000 维的向量 y ，向量的每个维度的值对应图片属于某类的概率。对于一个清晰的图片，它属于某一类的概率应该非常大，而属于其它类的概率应该很小（这个假设本身是有问题的，有可能有些图片很清晰，但是具体属于哪个类却是模棱两可的）。用专业术语说， p(y|x) 的熵应该很小（熵代表混乱度，均匀分布的混乱度最大，熵最大）。
2. 多样性：如果一个模型能生成足够多样的图片，那么它生成的图片在各个类别中的分布应该是平均的，假设生成了 10000 张图片，那么最理想的情况是，1000 类中每类生成了 10 张。转换成术语，就是生成图片在所有类别概率的边缘分布 p(y) 熵很大（均匀分布）。
具体计算时，可以先用生成器生成 N 张图片，然后用公式 (1) 的经验分布来代替：
综合上面两方面，Inception Score 的公式为：
exp：仅仅是为了好看，没有具体含义。
x~Pg ：表示从生成器中生图片。
p(y|x) ：把生成的图片 x 输入到 Inception V3，得到一个 1000 维的向量 y ，也就是该图片属于各个类别的概率分布。IS 提出者的假设是，对于清晰的生成图片，这个向量的某个维度值格外大，而其余的维度值格外小（也就是概率密度图十分尖）。
p(y) ：N 个生成的图片（N 通常取 5000），每个生成图片都输入到 Inception V3 中，各自得到一个自己的概率分布向量，把这些向量求一个平均，得到生成器生成的图片全体在所有类别上的边缘分布，见公式 (1)。
：对 p(y|x) 和 p(y) 求 KL 散度。KL 散度离散形式的公式如下：
KL 散度用以衡量两个概率分布的距离，它是非负的，值越大说明这两个概率分布越不像。但这个距离不是对称的，观察公式， P(i) 很大 Q(i) 很小的地方对 KL 距离贡献很大，而 P(i) 很小 Q(i) 很大的地方对 KL 距离的贡献很小。
我们预期
的某个维度值很大，而 p(y) 总体均匀，因此需要把
放在公式 (2) 中双竖线的前面。放到后面可能会造成
的极端值被忽略，而正是这个极端值的存在告诉了我们这个生成的图片是否清晰。
综合起来，只要 p(y|x) 和 p(y) 的距离足够大，就能证明这个生成模型足够好。因为前者是一个很尖锐的分布，后者是一个均匀分布，这俩距离本就应该很大。
公式 (2) 很不直观，在实际操作中可以改成如下形式：
实际操作中，先用生成的大量样本代入公式 (1)，求出
，然后再对每个样本求出
，计算它和
的 KL 散度，最后求平均，再算一下指数即可。
Inception Score 的 pytorch 版本代码可以参考下面的链接，十分清晰易懂：
https://github.com/sbarratt/inception-score-pytorch
我们对公式 (2) 取对数刨除无用的 exp，并作简单的推导：
可以发现，公式 (4) 的结尾正是互信息的定义式，即：
注意，互信息是对称的，即 I(y;x)=I(x;y) 。而互信息的 Wikipedia 页面，给出了它和熵之间的关系推导。
熵是衡量随机变量不确定性的量，对随机变量 x，其信息熵的公式为：
条件熵是衡量在给定条件下，随机变量不确定性的量。对随机变量 x，y 条件熵的公式为：
关于这两个公式的直观解释，请参阅数学之美第 6 章 [1]。
而对于互信息，我们可以作如下推导：
从公式 (8) 中发现，对于随机变量 y，其本来的不确定性是 H(y)，而给定了条件 x 后，y 的不确定性变为了 H(y|x)。因此，互信息为：给定某个条件后，随机变量不确定性的减少程度，因此也叫信息增益。而这个指标同时反映的是两个变量的相关程度。
互信息和信息增益是等价的，一个侧重表达两个随机变量的相关程度，一个侧重给定某个条件后，随机变量不确定性的减少程度。
PS：协方差也可以用于表示两个随机变量的相关性，但是只能表示两个变量之间的线性相关性，但协方差的好处是不需要知道变量的概率分布函数，而这对互信息是必须的。具体见这个链接 [2]。
有了上面的推导，再代回到公式 (5)：
我们根据公式 (9) 发现，Inception Score 的真实意义是：生成的所有样本在各类别的分布函数的熵，与每个样本在各类别可能性的分布的熵（的期望）之差。第一项越大，说明生成的样本在各类上分布越平均，第二项越小，说明生成的样本属于某个类别的可能性越大，说明这个样本越清晰。
在 A Note on the Inception Score 中，作者首先举了一个一维的例子，用以说明 Inception Score 并不能反映生成模型的性能。
▲ 图1
假设真实数据以 1/2 的概率分别从两个正态分布 N(-1, 2) 和 N(1,2) 中采样（如图 1），各自对应的类别分别为 0 和 1。那么最优贝叶斯分类器为：
公式 10 的图像如图 2。即给出一个 x，分别算一下它在左正态分布和右正态分布的概率，代入上式，大于 0.5 表示来自右边的正态分布，小于 0.5 表示来自左边的正态分布。注意在 x=0 时，它来自左右两个分布的概率均为 0.5。
▲ 图2
而根据 Inception score 的计算公式 (9)，我们可以设计这样的生成器：以相同概率随机生成 -∞ 和 +∞。为了方便阅读，这里重新复制一遍公式 (9)：
根据图 2 中最优判别器的图像，可以知道：
(11) 代入 (9) 的第二项，可以得到 H(y|x)=0，而生成 -∞ 和 +∞ 的概率都是 1/2，故 H(y)=log2。因此，Inception Score 可以取到最大值 2。
除此之外，还有很多分布都可以得到很高的 Inception Score，例如均匀分布 U(-100,100)，正态分布 N(0, 20) ，因为它们都可以得到 H(y)=log2（关于坐标原点对称，所以生成两类的概率相同），同时得到一个很小的 H(y|x)=0（最优判别器下，大于 0 的数对应的概率都很大，小于 0 的数，概率都很小）。反而真正的分布，左右两个正态分布对应的 Inception Score 小于前面这些分布。
作者总结，Inception Score 主要有两个问题：
Inception Score 自身的问题
错误的使用场景
Inception Score自身的问题
1. Inception Score 对神经网络内部权重十分敏感。
作者利用 TensorFlow, Torch 和 Keras 等不同框架下预训练的 Inception V2 和 Inception V3 ，计算同一个数据库（50 k CIFAR-10 training images 和 50k ImageNet validation images）的 Inception Score。
发现尽管不同框架预训练的网络达到同样的分类精度，但由于其内部权重微小的不同，导致了 Inception Score 很大的变化，在 CIFAR-10 上 IV3 (inception v3) Torch 和 IV3 Keras 算出的 Inception Score 相差了 11.5% ，在 ImageNet 上，IV3 Torch 和 IV3 Keras 算出的 IS 相差 3.5%，这些差异，足以涵盖某些所谓 state-of-the-art 的模型所作出的提升。
2. 计算 Inception Score 的方式不对。
通常计算 Inception Score 时，会生成 50000 个图片，然后把它分成 10 份，每份 5000 个，分别代入公式 (3) 计算 10 次 Inception Score，再计算均值和方差，作为最终的衡量指标（均值+-方差）。
但是 5000 个样本往往不足以得到准确的边缘分布
，尤其是像 ImageNet 这种包含 1000 个类的数据集，仅仅 5000 个样本是不够的。作者通过实验证明，把同一个数据集分成不同的份数，会影响最后的 Inception Score。因此，作者建议把 50000 个样本放到一起，来确定边缘分布
。
同时，作者建议去掉 Inception Score 提出者基于审美原因加进公式的 exp，根据上文，去掉后可以直接解释为互信息。改进后的 Inception Score 公式为：
按照作者的改进，就不会出现把数据集划分为不同份数，计算的 Inception Score 不一致的现象了。对于方差，可以通过计算每一个生成数据的
来计算（相当于 n_split = N）。
错误的使用场景
1. 分类模型和生成模型在不同的数据集上训练。
由于 Inception V3 是在 ImageNet 上训练的，用 Inception V3 时，应该保证生成模型也在 ImageNet 上训练并生成 ImageNet 相似的图片，而不是把什么生成模型生成的图片（卧室，花，人脸）都往 Inception V3 中套，那种做法没有任何意义。
Inception Score 基于两个假设：
Inception V3 可以准确估计 p(y)，即样本在所有类别上的边缘分布；
Inception V3 可以准确估计 p(y|x) ，从而计算出条件熵，用条件熵反映图片的真实程度。
对于假设 1，作者计算了 CIFAR-10 的边缘分布，取了排名前 10 的预测类。把这 10 类和 CIFAR-10 的 10 类相比较，发现，它们并没有对应关系。再一次说明了生成模型的训练数据需要和 Inception Net 或者别的什么分类网络的训练数据一致。不能在一个数据集上训练分类模型，用来评估另一个数据集上训练的生成模型。
对于假设 2，Inception 网络通过 p(y|x) 计算出条件熵，条件熵越低表示生成的图片越真实，这也是有问题的。作者计算了 CIFAR 10 训练集的条件熵是 4.664 bit，而在随机噪声图片上，条件熵是 6.512 bit，仅仅比真实训练集图片高了一点点。
而在 ImageNet 的 validation set上，Inception net 算出的条件熵是 1.97 bit，也就是说 CIFAR 训练数据比起 ImageNet 更接近随机噪声，这显然是不科学的，因为 CIFAR 数据再不济也是真实图片，应该和 ImageNet 的条件熵更接近才对。再一次说明了，不能在一个数据集上训练分类模型，用来评估另一个数据集上训练的生成模型。
2. 优化 Inception Score （不直接地&隐式地）。
Inception Score 只能是粗糙的指导，如果直接优化这个 Inception Score，会导致生成对抗样本（只会刷分，其实并不真实）。但同时也应该注意到，间接地优化这个分数，同样会导致生成对抗样本，例如用这个指标来确定是否停止训练，调整超参数，甚至调整网络架构。
作者在附录中提出了一种可以刷 Inception Score 的方法：把生成样本输入分类模型中，用梯度下降来修改输入的样本，让它在某一类的概率达到非常大，这样，条件熵就降下来了，同时让不同样本优化不同的类，循环遍历所有的类，这样就能保证边缘分布是均匀分布，即生成的图片把每个类都均匀覆盖了。但是，这会导致生成毫无意义的图片。
3. 没有反映过拟合。
根据 Inception Score 的计算原理，我们可以发现：如果神经网络记住了所有的训练集图片，然后随机输出，那么它会得到一个很高的 Inception Score。但是这种生成模型是没有意义的。
因此在用 Inception Score 评估生成模型的性能时，应该加上别的指标，证明模型没有过拟合，即模型输出的图片和训练集中任何图片都不同，单纯用 Inception Score 评估性能是不全面的。
本文全面讲解了 Inception Score 的原理和它存在的一些问题：
IS大，不一定生成的图片就真实；
分类模型参数的轻微变动将影响 IS；
使用 IS 时，分类模型和生成模型应该在同一个数据集上训练；
通常计算 IS 的方法是有漏洞的：估计
的样本数据量太小，导致同一堆数据，分割的份数不同算出的 IS 不同；
以 IS 为优化目标会导致产生对抗样本；
IS 无法反映生成模型过拟合情况。
综上，IS 是一个浑身硬伤的评价指标，能不用还是不要用了……
经常与 IS 并列的还有 Fréchet Inception Distance，关于它的简介请移步本人的另一篇文章 [3]。限于水平，这篇文章会比较水，没能对 Fréchet Distance 做出理论推导或者直观解释，只是引用了一下公式，但从公式中仍然可以看出，它比 IS 更加有道理一点。
[1] https://github.com/Tongzhenguo/ebooks/blob/master/数学之美.pdf
[2] https://stats.stackexchange.com/questions/81659/mutual-information-versus-correlation
[3] https://zhuanlan.zhihu.com/p/54213305