今天才知道，空壳星球的内部是没有重力的

    曾经想过要写一篇科幻小说，讲一种生活在空壳星球内表面的文明，如何发现自己的星球是圆的，如何成功地环游世界一周，又如何发现自己其实是在星球的内表面。今天我长出了一口气，幸好当初没写这样的文章，不然就闹笑话了。今天我才知道，空壳星球内部的人是不能居住在星球的内表面的，因为空壳星球内的任意一点都没有重力。

    这其实并不难理解。虽然脚下的土地离你更近，产生的重力作用更显著，但可惜这部分土地并不多。星球的更多部分将会位于你的头上，但可惜他们又离你太远了，影响也不会太大。近的部分太小，大的部分又太远，这两者很可能是一种平衡的状态。

    而事实上也正是如此。不妨让我们先来考虑当星球壳充分薄的情况。考虑星球内部的一点 M ，以及这个星球上充分小的一块皮 A 。不妨假设这块皮到 M 点的距离为 d₁ 。现在，将 A 上的每个点都与 M 相连并延长出去，由此确定出对面的一块内表皮 B 。假设它到 M 点的距离为 d₂ 。注意到，一块表皮对 M 的引力，与表皮的面积成正比，与距离的平方成反比；而 A 、 B 的面积之比正好是 d₁ 和 d₂ 的平方比，因此 A 、 B 对 M 的作用力就正好抵消了。同理，这个薄壳星球的任意位置对 M 的作用力都恰好被对面的相应部分抵消，因此 M 点没有重力。而一个有一定厚度的空壳星球可以看作是由无穷个充分薄的空壳叠加而来，因而它内部也是没有重力的。

    其实，刘慈欣在科幻小说中早就注意到这一点了（我现在才意识到）。在科幻小说《山》中，刘慈欣真的构想了一种生存在星球内部的外星文明，从外星人的角度来看，他们的世界“就是这固体宇宙中的一个空泡”，于是这个外星文明就把它称为“泡世界”。小说中写到：“我们那时不知道万有引力这回事，泡世界中没有重力，我们生活在失重状态中。真正意识到引力的存在是几万年以后的事了。”

 
    逻辑推导是一回事，事实上又是怎样呢？有趣的是，这个结论可以用实验来进行验证。我们虽然无法制造一个空壳星球，但我们另有妙招。两个带电粒子的引力公式 F = K · q_{1 ·} q₂ / r²，其形式与万有引力惊人地一致。让一个铜球壳带上一定量的电荷，电荷将会均匀分布于外层。此时，你会发现铜球内没有电场，这样便验证了上面的结论。

 
    这个结论有一个非常有趣的应用，它可以帮助我们计算地下的重力。比方说，假设你在地下 1 千米的某个地方，那么我们就把整个地球分成两部分，一个 1 千米厚的外壳，和它内部的实心球。刚才的结论告诉我们，前一部分对你没有作用力，因此你所受的重力全部来源于剩下的那部分实心球。如果地球的半径是 R 千米，那么地下 1 千米处的重力就相当于是一个半径为 R - 1 千米的地球表面上的重力。

    注意到，如果地球半径减小到了原来的 1/n，那么质心到表面的距离也就减小到了原来的 1/n，同时星球质量也将会减小到原来的 (1/n)³。由此可知，物体所受的重力就变成了原来的 (1/n)³ / (1/n)² = 1/n 。也就是说，如果你朝着地心挖过去，你所受到的重力是线性地变化的。在地球表面，重力加速度还是 9.8 m/s² ，挖到一半的地方时就只剩 4.9 m/s² 了，到地心就没有了重力加速度。当然，如果穿过地心继续往对面挖，重力就开始往反方向线性增加了。

    有趣的事情发生了：如果修建一个贯穿地心的隧道，从中国一直延伸到阿根廷，由于重力大小与物体位置始终是一个线性关系，那么在这个隧道中所做的“自由落体运动”，实际上将会是一个简谐振动！取地球半径 R = 6 371 000 米，那么简谐振动的一个周期就是 2π · √6 371 000 / 9.8 ≈ 5066 秒，因而半个周期（也就是从中国单程前往阿根廷的时间）就大约为 2533 秒，也就是 42.2 分钟。

    写到这里，似乎突然想到了什么，于是立即去翻刘慈欣的《地球大炮》，果然看到这么一段：“计算结果很快出来了，以地球理想的平均密度，从中国跳进地球隧道，穿过直径一万两千多公里的地球，坠落到阿根廷，需四十二分钟十二秒。”这个数据竟然不是随便编的。

    大刘太牛 B 了。

 
    扩展阅读： http://en.wikipedia.org/wiki/Gravity_train
    大家可以看到， gravity train 的想法最早可以追溯到 17 世纪，并且更有意思的是，它还可以扩展到地球表面任意两点的直线旅行。如果这个隧道不是穿过地心的，而是一条“弦”的话，虽然速度更慢，但同时隧道本身也更短。一个有趣的推论是：在地球表面任意两点的直线隧道上自由运动，周期是一个定值——单程旅行总是 42.2 分钟。