碰面概率是可以算出来的

让我们看看其中一个人甲是怎么想的。站在甲的角度来说，乙可能会在任意一个时间点出现，因此我们可以通过划分时间段的方法，计算碰面的概率。不妨将这一个小时分成三段时间： 00:00 - 00:10， 00:10 - 00:50，00:50 - 01:00。

在第一个时间段内，朋友到达夜店时间是随机的，平均起来就是00:05，所以只要甲在 00 : 00 – 00 : 15 这15分钟内出现都能和乙碰面，因此碰面的概率是 15／60 = 1／4。

类似的，如果乙在第三个时间段内到达，其平均到达时间就是00:55，那么只要甲在 00 : 45 – 01 : 00 这15分钟内出现都能和他碰面，因此碰面的概率也是1／4。

最后我们来考虑中间那一大段，当朋友在这段时间内到达，他的平均到达时间是00 : 30，甲只要在 00 : 20 – 00 : 40 这20分钟内出现都见到他，因此碰面的概率是 1／3 。

把这三种情况综合起来，第一个和第三个时间段长度分别是总时长的 1／6 ，第二个时间段长度是总时长的 2／3 ，我们就可以得到最终碰面的概率是：

上面这种方法是条件概率方法，很经典，但是过程却稍显繁冗，有没有更好的方法？

更简单的算碰面概率方法

答案是有的，而且这个简单的方法甚至不需要语言。

从上图中，你能一眼看出结果么？

如果把甲的到达的时间记在 x 轴上，把乙的到达时间记在 y 轴上，那么他们到达的时间便可以用坐标系中的点 ( x , y ) 来表示，根据设定可知这个点一定会落在图中的正方形区域中。而如果二人想见面，那么他们先后到达的时间间隔一定要小于十分钟，即 | x – y | ≤ 10。

解这个不等式，可得 x – 10 ≤ y ≤ x + 10 。将这两条支线在坐标系中画出来，就能发现它们围成的区域正好是上图的阴影部分。

换言之，如果两人要碰面，对应的到达的时间点 （x，y） 就必须要落在阴影部分内。所以阴影部分的面积与大正方形面积之比就是所要求的概率，据此我们就能很轻松地计算出答案：11／36。

死理性派100%碰面法

当然，上述的分析是在两人到达时间是随机的这个条件下作出的。其实，这个问题真正有趣的地方在于，如果两个人都是死理性派，那他们就是忘了约定时间，一样可以同时到达，保证100%的概率碰面！

第一眼看过去，很容易得出这样的结论：你不会选择离00:00或者01:00太近的时间。如果你出现在00:00，那么你的朋友只能在你之后的10分钟内出现才行。

这很好理解，如果甲在00:00出现，就意味着他的朋友必须在接下来的10分钟内到达。相比之下，显然00:01是一个更好的选择——因为这样的话，乙到达的时间就可以在[ 00 : 00 , 00 : 11 ] 这11分钟内选择。 按照这个逻辑，00:02又比00:01出现更加合适……这样的择优选择可以一直类推到00:10这个时刻。同样的，再考虑时间轴的另一端，我们也可以运用如上的择优法则选择出 00 : 50 这个时刻。这样一来，甲就将自己的出现时间从 [ 00 : 00 , 01 : 00 ] 减小到 [ 00 : 10 , 00 : 50 ] 。因为乙也是死理性派，所以他也一定是这样想的（人以群分嘛）。

于是对于他们两个来说，到达的时间区间变短了，而等待时间不变（依然是10分钟），因此碰面的概率一定会有所提高。事实上，根据之前的方法，如果在这个区间两人随机到达，那么碰面的概率便会增加到7/16。

但是推理就到这一步而已吗？不！人们在选择策略时的逻辑推理过程是这样的：

所以只去掉一次非优策略后，甲、乙不会停下思考的步伐，他们只有在确定已经筛选不出更优的策略时才会收手。

前面说过，两人通过各自的推理，确定出了一个新的到达时间区间 [ 00 : 10 , 00 : 50 ] ，但这不会是思考的终点。在新的区间里，再次应用之前的逻辑推理，我们便会发现选择在 00 : 10 出现也是不明智的了，因为两人肯定不会在这个时间点之前出现，于是这样选择就等于只留给对方10分钟，因此 00 : 11 更好——相似的逻辑再次出现。与上一轮思考十分相似，这个区间会被缩减至[00:20,00:40]。

写到这里，想必大家都明白了。没错，这个区间仍然有继续缩减的余地：只要这是个区间（而不是一个时间点），就有继续缩减的余地。按照上面的想法，甲、乙最终都会将到达的时间锁定在 00 : 30 上。所以如果忘记约定时间，两个人就会毫不犹豫地在00:30准时出现，成功碰头。

更一般的，如果等待时间不是10分钟，到达的时间区间也可随意设置，根据上面的分析，两个人仍然会选择在这个区间的中点到达。

实际上，这是一个关于时间的博弈，而 00 : 30 就是纳什均衡点：如果都选择在这个时间点出现，那等待时间将缩减为0，见面机会是100%。所以，如果你的那一位也是一个死理性派，那制造一次浪漫的100%偶遇吧。

本文编译自 mind your decision，原文点 这里 。