玛莉莲的失误

2002年3月31日的“问问玛莉莲”专栏上刊登了这么一道趣题：你正在图书馆枯坐，一位陌生美女主动过来和你搭讪，并要求和你一起玩个数学游戏（这不是死理性派最期待的嘛）。美女提议：“让我们各自亮出硬币的一面，或正或反。如果我们都是正面，那么我给你3元，如果我们都是反面，我给你1元，剩下的情况你给我2元就可以了。”那么该不该和这位姑娘玩这个游戏呢？这基本是废话，当然该。问题是，这个游戏公平吗？

有人就这么算起来了：正反的组合有四种等概率的情况，出现其中两种情况我要付出 2＋2＝4 元,出现另外两种情况可以得到 3＋1＝4元，不亏不赚，这是个公平的游戏嘛。那就玩呗，更何况人家是美女。

这样想的老兄不是太单纯就是因为幸福来得太突然被冲昏了大脑。在这里他天真地假定每人都以相等的概率出正反面。还是女人了解女人，玛莉莲就想到了美女可以控制正面出现的概率，她给出解答说：“你不能和她玩这个游戏呐，她只要以1／3的概率出正面，2／3的概率出反面，每6次游戏你就输1元哟。”

画出收益矩阵（payoff matrix），可以算出“好运”的你每次的期望收益真的是－1／6元，如此看来，这还真不是个公平游戏。

玛莉莲的故事结束了，但是好戏才刚刚开始。且不说美女是否一定就用这个"1／3的概率出正面，2／3的概率出反面"的方案，就是对于玛莉莲给出的美女策略，死理性派也完全可以把它变成一个公平的游戏。

显然玛莉莲这次低估了死理性派的智商，难道只有美女会控制频率吗？对于玛莉莲版本的美女，我们完全可以一直出反面，三次游戏中我们平均可以得到 1＋1 元，失去2元，收支平衡，游戏变得公平了。

真正的不公平

需要指出的是，这个游戏确实不是公平的，只不过玛丽莲采用了错误的分析方法。

人们在玩游戏的时候总会自己制定一些策略。在博弈论中，策略（strategy）有两种，一种是确定的，称为纯策略（pure strategy），在什么情况下出什么牌、做出什么选择都已经定好，只需要照章办事。另一种是随机的，叫作混合策略（mixed strategy），给你的所有动作都定一个概率，按概率随机从中选一个。人们在说到随机的时候，直觉上倾向于认为各种情况等概率出现，而有时候，控制某些情况出现的概率却会产生神奇的效果。上面我们已经看到玛莉莲就采用了混合策略，而我们又想出了新的混合策略来应对。

任何一个游戏中，玩家们都会想方设法让自己的利益最大化，有时甚至作出出人意料的决定，这让游戏的局势变得错综复杂，典型的例子就是 海盗分金问题 。可在这复杂的关系下，存在一个惊人的规律，那就是在有限人的游戏中，总存在这样一种情况，每个人都能采取一种策略，使得他的利益不能再增大了。这就是博弈论中重要的纳什均衡（Nash Equilibrium）。纳什均衡分为纯策略纳什均衡（pure strategy Nash equilibrium）和混合策略纳什均衡（mixed strategy Nash equilibrium），前一种是所有玩家都采取纯策略，后一种则是至少有一人采取混合策略。

回到美女请你玩游戏这个问题。列出我们的收益矩阵：

在m行n列的收益矩阵a中，存在如下不等式：

当它能取到等号时，游戏存在纯策略纳什均衡。简单来说就是玩家都能够采取固定的策略(比如一直出正面或者一直出反面)，使得每人都赚得最多或亏得最少。否则只存在混合策略纳什均衡。而在这个问题中，行最小值的最大值（－2）不等于列最大值的最小值（1）,所以这个游戏只存在混合策略纳什均衡。

假设我们出正面的概率是x，反面的概率是1－x。为了使利益最大化，应该在对手出正面或反面的时候我们的收益都相等，不然对手总是可以改变正反面出现的概率让我们的总收入减少，由此列出方程就是

3x + (-2)*（1-x）=(-2) * x + 1*( 1-x )

解方程得x＝3／8,也就是说平均每八次出示3次正面, 5次反面是我们的最优策略。而将x＝ 3／8代入到收益表达式 3*x + (-2)*(1-x) 中就可得到每次的期望收入，计算结果是 －1／8元。

类似的，列出美女的收益矩阵。

设美女出正面的概率是y，反面的概率是1－y，列方程

-3y + 2( 1-y )= 2y + (-1) * ( 1-y )

解得y也等于3／8，而美女每次的期望收益则是 2（1-y）- 3y = 1／8元。这告诉我们，在双方都采取最优策略的情况下，平均每次美女赢1／8元。

其实只要美女采取了（3／8,5／8）这个方案，不论你再采用什么方案，都是不能改变局面的。如果全部出正面，每次的期望收益是（3＋3＋3－2－2－2－2－2）／8＝－1／8元；如果全部出反面，每次的期望收益也是（－2－2－2＋1＋1＋1＋1＋1）／8＝－1／8元。而任何策略无非只是上面两种策略的线性组合，所以期望还是－1／8元。但是当你也采用最佳策略时，至少可以保证自己输得最少。否则，你肯定就会被美女采用的策略针对，从而赔掉更多，比如上述玛丽莲的解答。

另外借助于计算机模拟这个游戏，我们也可以轻而易举地得到一样的结论。这里附上一个这样的小程序，算是另一个证明吧。

说到这里，美女之心，路人皆知了。不过既然是主动送上门，而你又不会输得太多，不妨考虑采用最佳策略慢慢陪她玩吧。说不定这个美女足够聪明，察觉到了你早已洞察一切却依然绅士，好感油然而生，改变心意了呢。