或许你从小就一直在思考的两个算术问题

标签: Brain Storm 算式 证明 趣题 | 发表时间:2011-05-30 23:14 | 作者:Matrix67 依云
出处:http://www.matrix67.com/blog

    你是否很小就注意到了下面这两个有趣的算术现象?这两个简单的算术谜题是否一直都困扰着你?今天,大家终于有机会解开谜团了。

    问题一: 2 加 2 等于 4 , 2 乘 2 也等于 4 。还有其它的整数对,它们的和与积也相等吗?

    我们要求的就是 mn = m+n 的整数解。方程可以变为

      mn - m - n + 1 = 1

    也就是

      (m - 1)(n - 1) = 1

    由于 m 、 n 都是整数,因此 m - 1 和 n - 1 也都是整数。两个整数之积为 1 ,只有两种情况——这两个数都是 1,或者这两个数都是 -1 。前者对应了 m = 2, n = 2 ,后者解出来则是 m = 0, n = 0 。如果把 (0, 0) 看作平凡解(或者如果我们把问题限制在正整数范围)的话,非平凡解就只有 (2, 2),没有其它的了。


    有趣的是,如果三个正整数之和恰好等于它们的乘积,解也只有一个:(1, 2, 3) 。更有趣的是,如果四个正整数之和恰好等于它们的乘积,解仍然是唯一的:(1, 1, 2, 4) 。如果五个数呢?这一回,解就不止一个了,(1, 1, 2, 2, 2) 、 (1, 1, 1, 3, 3) 、 (1, 1, 1, 2, 5) 都是满足要求的解。
    我们自然想问,对于哪些 n,“n 个正整数的和恰好等于它们的积”有唯一解。让人意想不到的是,这竟然是一个数学未解之谜。目前已经知道,在 n < 13 587 782 064 的范围内,只有 n = 2, 3, 4, 6, 24, 114, 174, 444 时有唯一解。是否有其它满足要求的 n ,这个问题至今仍未解决。

 
 
    问题二: 2 的 4 次方等于 16 , 4 的 2 次方也等于 16 。还有其它的正整数 m 和 n ,使得 m 的 n 次方和 n 的 m 次方也相等吗?

    当然,我们忽略所有 m = n 的平凡解。另外,当 m = 1 时,有 1n = n1 ,于是 m = n = 1 。因此,下面我们都假设 2 ≤ m < n 。

    等式两边同时除以 mm,有

      mn/mm = nm/mm

    即

      mn - m = (n/m)m

    由于等式左边是一个整数,因此等式右边也一定是一个整数,可见 n 一定是 m 的整数倍。不妨令 n = k·m ,其中 k 是一个大于等于 2 的整数。于是上式继续变为:

      mkm - m = km

    即

      mm(k - 1) = km

    两边同时开 m 次方,有

      mk - 1 = k

    当 k = 2 时,上式化为 m1 = 2,于是我们找到一组非平凡解 m = 2, n = 4 。
    如果 k = 3 呢?上式将变为 m2 = 3。注意到我们的 m 至少等于 2 ,因此 m2 至少也是 4 ,是不可能等于 3 的。
    如果 k 更大呢?mk - 1 肯定会更大,更不可能等于 k 了。我们用数学归纳法证明这一点。
    假设 mk - 2 > k - 1,那么mk - 1 = m · mk - 2 > m(k - 1) ;但 m 是大于等于 2 的,因而 m(k - 1) ≥ 2(k - 1) ;但 k 是大于等于 3 的,因此 2(k - 1) = 2k - 2 > k。
    因此, (2, 4) 是这个算术问题的唯一一组非平凡解。

相关 [思考 算术 问题] 推荐:

或许你从小就一直在思考的两个算术问题

- 依云 - Matrix67: My Blog
    你是否很小就注意到了下面这两个有趣的算术现象. 这两个简单的算术谜题是否一直都困扰着你. 今天,大家终于有机会解开谜团了.     问题一: 2 加 2 等于 4 , 2 乘 2 也等于 4. 还有其它的整数对,它们的和与积也相等吗.     我们要求的就是 mn = m+n 的整数解.     由于 m 、 n 都是整数,因此 m - 1 和 n - 1 也都是整数.

思考系统API设计的问题

- edware_love - C++博客-首页原创精华区
最近正好在思考系统API设计中考量的一些问题,. 我现在的理解是这样的,假设有巨大的真实内存. windows首先将高2G的内存自己占了,用作各种内核对象. 这2G内存共享给每个进程,但进程不能直接访问,只能通过windows给定的函数访问. : 然后每个进程都给他2G内存,进程如果创建自己的对象就放到自己那2G内存里面,如果要建立内核对象就放到共享的那高2G里面去.

要找出答案,或需暂停对问题的思考

- 无 - 译言-每日精品译文推荐
你是否也曾有过遗失了钥匙,急切想找到它们却无果,但当你不在去找时,反而意外地找到了它们. 不知为何,一旦你停止了寻找,无需刻意地,你的大脑便开始把零碎的线索一一拼凑起来. 事实证明创新的过程有时也是如此. 如果你困在一个问题里无法找出答案,你所能做的一件最好的事便是暂时转移注意力. 不但要移开目光,还要真的是把注意力转移开.

由 Opacity 属性引发的层叠问题思考与解决

- - 我爱水煮鱼
在最近的一个作品中,在使用 opacity 属性来实现页面整体透明的时候,发现了一个问题. 如果两个层发生了重叠,使用了 opacity 属性并且属性值小于1的层,会覆盖掉后面的层. 于是动手做了个实验,来验证 opacity 的层次. 网页中的层叠规律是这样的:如果两个层都没有定义 position 属性为 absolute 或者 relative 属性,哪个层的HTML代码放在后面,哪个层就显示在上面.

系统设计典型问题的思考

- - 四火的唠叨
最近我老婆在找工作,于是我也一起学习了一些系统设计的知识,这里总结典型的思路和题目. 首先,反复沟通和澄清系统需求. 只有把需求澄清清楚了,才可以开始思考并落到纸面上. 但是需求的沟通应该是持续和循序渐进的,问题很难从一开始就思考全面. 其次,尝试抽象一个简单的模型,从简单模型开始,思考不同的场景和约束,逐步完善.

一次线上问题排查所引发的思考

- - crossoverJie's Blog
之前或多或少分享过一些 内存模型、 对象创建之类的内容,其实大部分人看完都是懵懵懂懂,也不知道这些的实际意义. 直到有一天你会碰到线上奇奇怪怪的问题,如:. 线程执行一个任务迟迟没有返回,应用假死. 接口响应缓慢,甚至请求超时. 这类问题并不像一个空指针、数组越界这样明显好查,这时就需要刚才提到的内存模型、对象创建、线程等相关知识结合在一起来排查问题了.

终极思考

- wei - 牛博国际
我的海淀剧院演讲门票放出后,八小时卖了四百多张,同事们说,日. 我淡淡地说,别这样,也许正是因为便宜才这么好卖嘛. 一转身我马上就打电话给老婆,操. 早知道就他妈把票价定高一点啦,真倒霉......干. 很大程度上,这可以解释两件事:1.为什么已婚事业男性的健康状况会相对好一些. 2.为什么在社会上受到尊重和认可的事业男性在老婆的眼里都是傻逼.

动车追尾的思考

- David Ruan - 扬韬
1、两列运行的动车追尾,绝对属于重特大责任事故. 雷电导致前车失灵,已经是责任事故了. 前车失灵,信号没有外发,又是责任事故. 调度体系没有发觉列车失灵,也是责任事故. 后车没有察知前车失灵,还是责任事故. 最后,后车发现问题,紧急制动系统有没有用也值得怀疑,因为后车司机据说是人工制动并殉职于岗位的.

重新思考电子书

- Alex - 爱范儿 · Beats of Bits
Hart,“古登堡计划”发起人,2011 年 9 月 6 日去世,享年 64 岁. 从 1971 年 Hart 制作第一本电子书,启动“古登堡计划”开始到 2011 年,Kindle、Nook 流行,正好经过 40 年. 如今电子书阅读器、电子书变得越来越流行,在北京的地铁上,你会经常看见低头拿着 Kindle、Nook、iPad、汉王的人们.

《系统思考》读后感

- 章明 - 所有文章 - UCD大社区
经别人推荐(都忘了是谁推荐的了~),买了这本《系统思考》,看完前几章,发现这是一本非常好的书. 全书的精华也都在前面几章,后面都是一些具体的案例分析. 为什么必须从整体研究系统. 将系统分块通畅破坏了你所试图研究的系统. 如果你破坏了系统内的连接,你就破坏了系统本身. 更奇妙的是,很多系统表现出他们的任何组成部分都不具备的特征.