分形历史学

本文试图探索用数学方法研究历史。

中国古代知识分子，包括现在的国产文人，喜欢用特别简单的结论来解释朝代兴亡。比如”得道多助 失道寡助”说，”荒淫无道说”，”得人心者得天下”说。这些说法当然完全站不住脚。康熙好色，乾隆朝贪污腐败，国家没有亡；崇祯勤政而节俭，国家反而每况 愈下；建奴和蒙古人从来没得过人心，居然也得了天下。如果实在无法用君王品质解释，文人们干脆祭出”气数”说。西方学者对君主个人品质和气数兴趣都不大， 更侧重于人口，自然环境，甚至气候变化对朝代兴亡的影响。【参考文献：本人写的《制度问题，素质问题，还是天气问题》】。

其实如 果我们仔细考察历史，其实很多历史上的重大变化都不是由于一个或者几个简单原因导致，而是由一系列大小事件综合作用的结果。比如明朝灭亡，至少需要五个必 要条件：1.小冰河气候，2.东林党争，3.皇太极有才，而且运气实在太好，4.一系列投降事件，5.北京城流行鼠疫。熟悉明史的人很可能还会再加上几 条。这里的要点是缺少其中任何一个条件，明朝都不至于被满清取代，这些事件必须共同起作用。英文有个新词叫做 “完美风暴”（perfect storm）[http://en.wikipedia.org/wiki/Perfect_storm]，说的就是这个意思。也就是说每一个孤立事件都 不至于影响大局，然而碰巧这些事件都发生了，导致一个极小概率的大变化。

历史很可能是一系列的偶然事件的结果。一个例子是拿破仑滑铁卢战败。有个网上流传的说法：

滑铁卢一役，一代英豪拿破仑居然会输给能力平平的惠灵顿，确实让人感到不可思议。但其实拿破仑根本就没有亲临现场指挥这场战斗。拿破仑没有亲临现场是因 为他在自己的帐篷里休息，他在自己帐篷里休息的原因是他要吸食鸦片，他吸食鸦片的原因是他要止痛，他疼痛难忍 的原因是他痔疮恶化，他痔疮恶化的原因是他穿紧身裤，而他穿紧身裤 的原因是当时整个巴黎都在流行穿紧身裤。

当然这个是笑话。在 真实历史中拿破仑直接指挥了滑铁卢战役，而且我看的书里也没说他患有痔疮。不过滑铁卢战败的确是拿破仑和其手下的一系列错误导致 的完美风暴：拿破仑不应该分兵，更不应该让庸才格鲁希指挥分出去的部队，格鲁希不应该在关键时刻犹豫不决，而且老天也不应该在那个时候下大雨，等等等等。

如果进一步考察为什么这些小事件能够发生，其中背后可能又有一系列的小小事件，也许会发现每一个小事件本身也是一场完美风暴。比如我们如果考问洪承畴为 什么投降，范文程为什么甘心当汉奸，再到东林党为什么就没有于谦这样的人物，其背后很可能有和明朝灭亡本身一样复杂的原因。

那么现在如果我们问明朝到底为什么会灭亡，这个问题还有什么意义么？如果答案仅仅是”复杂”这两个字，那么我还有第二个问题：明朝灭亡和宋朝灭亡和元朝灭亡，其原因 的”小事件集合”，是相似的么？这些事件集合是完全随机选取的么？

一个和”明朝为什么灭亡”类似的问题是，当然你肯定猜到了，英国的海岸线有多长。海岸线是一个特别复杂的结构，它的长度取决于你用什么样的尺子去测量。 具体情形，分形的科普文章到处都是，我就不必多说【 http://en.wikipedia.org/wiki/How_Long_Is_the_Coast_of_Britain%3F_Statistical_Self-Similarity_and_Fractional_Dimension 】。
测量出来的海岸线长度L，和所用尺子的长度G，之间有一个简单数学关系：L(G)=MG^(1-D). 其中M是一个常数，而D称为海岸线这个分形结构的”维数”，它 的值在1和2之间。下面这张图来自 Mandelbrot 1976年发表在Science 上 的里程碑文章【http://www.sciencemag.org/cgi/content/abstract/156/3775/636】，他给出了 几个地区的海岸线的维数：

我需要特别强调的是这么几点：

- 这个双对数图上面的海岸线测量变化曲线是几条吻合的相当好的直线，而这个简单数学关系绝对不是从直觉上就对的。如果你用不同的尺子去测量杂乱无章随便乱画 的曲线，再看看测出的结果，最大的可能性是两者之间根本没有这么整洁的数学关系。这种关系之所以能够存在，是因为海岸线的形状不是完全杂乱无章的。这种关 系说明海岸线具有自相似特性。也就是说你拿出一小段英国的海岸线，可能会发现它跟英国另外一小段海岸线的形状很相似。只有具备这种特性的海岸线才是分形， 才能计算维数。

- 不同国家的海岸线的维数并不相同，而这个维数跟海岸线的”长短”没什么关系。如果理解了分形表示自相似，那么这个结论就不会令人感到特别惊讶。

- 海岸线具有分形特征，这只是一个”经验主义 (empirical) “的数学性质，而绝非数学定理。

- 事实上并非所有国家的海岸线都能简单计算分形维数。这也很容易想明白：我们已经知道不同国家的海岸线维数不同，那么假设我们人为制造一条新的海岸线，其形 状是英国海岸线和澳大利亚海岸线的拼接，显然这个新的海岸线就没法算维数，因为英国和澳大利亚的维数不同。2002年有一篇论文，说一个叫做Nanji的 小岛的海岸线其实是由六种不同维数的海岸线拼接而成的。【 http://ieeexplore.ieee.org/Xplore/login.jsp?url=/iel5/7969/22041 /01027211.pdf?arnumber=1027211】

- 既然如此，那么为什么英国就那么凑巧，正好是一个单一维数的海岸线？。。。海岸线的分性特征根本就不是数学定理。

我认为历史事件也具有自相似，即分形特征。比如中国从汉朝以来大一统的两千多年历史，就有明显的轮回特性。每个朝代的开始和结束，从最大的视野去看，给人感觉差不多。甚至有人比较了汉朝初年和共和国初年的历史事件，也发现不少相似之处。

一个大的历史进程中的各个小事件也具有相似的特性。比如满清入关这个大事件的历史时期，投降和杀戮可能就是时代的主题。再比如说解放军打国民党，大局上是以弱胜强，而其中具体到每一个小战斗，也经常具有以弱胜强 的特征。

这种自相似特性其实还有一个可能的应用，这就是《梅花易数》。《梅花易数》一类 的书进行算卦的理论基础就是如果你正在经历什么自身相关 的大事件，这个大事件可以用《易经》中的一个卦象来表示（注意这很有数学味道）。而这时候你 的一举手一投足，甚至抽中什么签，扔出去铜钱的排列组合，也都必然符合这同一个卦象。

既然历史事件具有自相似性，那么就应该可以 用分形办法来研究。现在我们可以回答前面提出的问题了。明朝灭亡和宋朝灭亡一样么？当然不一样。这就好比说英国 的海岸线和澳大利亚 的海岸线维数不同一样。一个大事件，比如明朝灭亡，也很可能像诡异的Nanji岛一样，由不同维数的几个大事件拼接而成。

假设我们可以创造一个数学方法来量化计算历史事件的维数，那么不同大小 的维数代表什么呢？我认为代表事件的复杂度。维数越高就越复杂，比如最简单的直线，维数是1.

这样一来分形历史学就找到一个应用：比如说可以用事件 的维数来给电影和电视剧分级。真正的商业片，比如《变形金刚》，维数都很低，主要让观众看完过瘾。而某些文艺片 的维数就很高，导致很多人没看懂。试想如果电影海报上有
“Rated R. 1.25D”
的标记，是不是能让观众多一点选择呢？比如一部PG-13的电影如果维数只有1.1，那么基本上就是要情节没情节要暴力没暴力，干脆不必看了。

分形历史学的最大难点很可能并不是怎么量化计算事件，而是怎么给事件清楚的分类，也就是说分形结构的形状。通过一点调查研究，我可以负责任的告诉大家，怎么给事件分类，比如说怎么给所有的笑话分类，是人类目前还做不到的事情。