趣题:能否在等边三角形点阵中画一个正方形?

标签: 趣题 Brain Storm 几何 证明 | 发表时间:2011-08-08 21:58 | 作者:Matrix67 刚子
出处:http://www.matrix67.com/blog

    这是一个非常有趣的问题:能否在一个无限大的等边三角形点阵中选取四个点,使得这四个点恰好构成一个正方形?这个问题有一个非常简单巧妙的解法,你能想到吗?

      


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
      

    答案:不可能。为了证明这一点,首先注意到,如果选定三角形点阵中任意两个不同的点,则以这两个点为顶点作等边三角形,所得的第三个顶点也一定在点阵中。这是因为,以任意一点为中心,将整个平面旋转 60 度,新的点阵与原来的点阵仍然是重合的。等边三角形的第三个顶点,其实可以看作是已知两点中的其中一点绕另一点旋转 60 度所得的,自然也就还在点阵中了。

 
      

    下面,假设点阵中存在正方形,则我们一定能找到一个最小的正方形。以正方形的每条边为边,向内作等边三角形,所得的第三个顶点也仍然在点阵上。然而,这四个新的顶点将会构成一个更小的正方形,于是产生矛盾。所以,我们永远无法在等边三角形点阵中作出一个正方形来。

 
题目来源:http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/DavidRadcliffe.shtml
大家有什么其他的证明方法吗?

相关 [趣题 三角形 点阵] 推荐:

趣题:能否在等边三角形点阵中画一个正方形?

- 刚子 - Matrix67: My Blog
    这是一个非常有趣的问题:能否在一个无限大的等边三角形点阵中选取四个点,使得这四个点恰好构成一个正方形. 这个问题有一个非常简单巧妙的解法,你能想到吗. 为了证明这一点,首先注意到,如果选定三角形点阵中任意两个不同的点,则以这两个点为顶点作等边三角形,所得的第三个顶点也一定在点阵中. 这是因为,以任意一点为中心,将整个平面旋转 60 度,新的点阵与原来的点阵仍然是重合的.

CSS quiz: 带边 border 的三角形

- - 幸福收藏夹
在 twitter 上发了一条推,给一道 CSS 题给大家做. 有几位同学给了回答,@zhiyelee 同学还给出了他的 具体实现方案. 推的原文是:“CSS Quiz: 如何不用图片、兼容所有浏览器实现这样的界面. 晚上博客公布答案 twitpic.com/981xba”. 如 @zhiyelee 同学的方案所示,原理可以分解为:.

经典证明:等边三角形内一点到各顶点的距离长可构成一个三角形

- Andy - Matrix67: My Blog
    这是初中平面几何的一个经典问题:等边三角形 ABC 内有任意一点 P,求证 PA 、 PB 、 PC 的长度一定能构成一个三角形.     这里给出两种证明方法. 传统的证明方法是,把 △CPA 绕着点 C 逆时针旋转 60 度,从而旋转后的 CA 将会和 CB 重合,同时 P 点落在了 P' 的位置.

终于搞懂了CSS实现三角形图标的原理

- - ITeye博客
网页中经常有一种三角形的图标,鼠标点一下会弹出一个下拉菜单之类的(之前淘宝也有,不过现在改版好像没有了). 之前以为是个png图标背景,后来在bootstrap中看到有一个图标样式叫做caret的用来实现这种效果. 没想到用CSS也能实现这个效果. .caret { display: inline-block; width: 0; height: 0; margin-left: 2px; vertical-align: middle; border-top: 4px solid; border-right: 4px solid transparent; border-left: 4px solid transparent; }.

趣题:不用相似怎么办?

- flycondor - Matrix67: My Blog
    我老早就写过一个经典的小学几何题. 如果你还没看过这个问题,你一定要去看看. 一个小学奥数老师曾经告诉我,当年带领学生参加这次竞赛时,领队老师们都没有想到这个问题的“小学生解法”,以至于开始质疑这道题是否超纲了. 看到答案后,老师们大为折服——这个问题确实有一个无需任何几何知识的妙解.     今天,同样的事情发生了.

44个精彩的物理趣题

- Henry - Matrix67: My Blog
    这个 Blog 几乎一直在讲数学趣题,却很少提到物理趣题. 其实,我个人觉得,物理也是相当好玩的(我是化学不好才选的文科). 隐约记得初中搞物理竞赛时,曾见过大量让人大呼过瘾的好题. 前几天看到了一个绝好的网站,里面有相当多的物理题目,让我激动了好一阵子. 我搜集整理了里面的一些好题,加上了我自己的一些补充,在这里和大家分享.

趣题:不动点与线性代数

- sdyy1990 - Matrix67: My Blog
    假设 X 、 Y 是两个有限集合,f:X→Y 和 g:Y→X 是两个函数. 求证:复合函数 g∘f 和 f∘g 拥有相同数量的不动点(也就是说 g(f(x)) = x 和 f(g(y)) = y 的解的个数相同).     下面先提供一个“正常”的解法. 观察函数 g∘f 的不动点,可以看出它有以下两个性质:首先,如果某个 x 是 g∘f 的不动点,即 x = g(f(x)) ,那么 f(x) = f(g(f(x))),这就说明 f(x) 是 f∘g 的一个不动点;另外,如果 x1 和 x2 是 X 中两个不同的不动点,则函数 f 不可能把它们映射到 Y 中的同一个元素,否则 g 没办法把它分别还原成 x1 和 x2.

趣题:随机折断的木棒

- Wang - FeedzShare
来自: Matrix67: My Blog - FeedzShare  . 发布时间:2011年02月06日,  已有 3 人推荐. 随机在中间选取一点,把这根木棒折断. 那么,短的那一截木棒平均有多长. 随机在中间选取一点,把这根木棒折断. 那么,长的那一截木棒平均有多长. 随机在中间选取一点,把这根木棒折断.

趣题:不用相似怎么办?

- 法法 - Matrix67: My Blog
    我老早就写过一个经典的小学几何题. 如果你还没看过这个问题,你一定要去看看. 一个小学奥数老师曾经告诉我,当年带领学生参加这次竞赛时,领队老师们都没有想到这个问题的“小学生解法”,以至于开始质疑这道题是否超纲了. 看到答案后,老师们大为折服——这个问题确实有一个无需任何几何知识的妙解.     今天,同样的事情发生了.

趣题:舞台里的狮子

- Dajusha - Matrix67: My Blog
    有一个半径为 10 米的圆形舞台,初始时舞台上的某个地方有一头狮子. 这头狮子在舞台上以折线段的方式跑了 30 千米. 求证:在整个过程中,这头狮子至少转了 2998 个弧度.     有时候,换一个角度思考,问题就会迎刃而解.     现在,让我们站在狮子的角度,用狮子的眼光来看周围的世界.